Deep Learning and Human Intelligence – Part 1 of 2

Many people are under the impression that the new wave of data science, machine learning and/or digitalization is new, that it did not exist before. But its history is as long as the history of humanity and/or science itself.  The scientific discovery could hardly take place without the necessary data. Even the process of discovering the numbers included elements of machine learning: pattern recognition, comparison between different groups (ranking), clustering, etc. So what differentiates mathematical formulas from machine learning and how does it relate to artificial intelligence?

There is no difference between the two if seen from the perspective of formulas however, such a perspective limits the type of data to which they can be applied. Data stored via tables consist of structured data and are stored in so-called relational databases. The reason for such a data storage is the connection between different fields that assume a well-established structure in advance, such as a company’s sales or balance sheet. However, with the emergence of personal computers, many of the daily activities have been digitalized: music, pictures, movies, and so on. All this information is stored unrelated to other data and therefore called unstructured data.

IEEE International Conference on Computer Vision (ICCV), 2015, DOI: 10.1109/ICCV.2015.428

Copyright: IEEE International Conference on Computer Vision (ICCV), 2015, DOI: 10.1109/ICCV.2015.428

The essence of scientific discoveries was and will be structure. Not surprisingly, the mathematical formulas revolve around relations between variables – information, in general. For example, Galileo derived the law of falling balls from measuring the successive hight of a falling ball. The main difficulty was to obtain measurements at regular time intervals. What about if the data is not structured, which mathematical formula should be applied then? There is a distribution of people’s height, but no distribution for the pictures taken in all holidays for the last year, there is an amplitude for acoustic signals, but no function that detects the similarity between two songs. This is one of the reasons why machine learning focuses heavily on clustering and classification.

Roughly speaking, these simple examples are enough to categorize the difference between scientific discovery and machine learning. Science is about discovering relationships between different variables, Machine Learning tries to automatize processes. Every technical improvement is part of the automation, so why is everything different in this case? Because the current automation deals with human intelligence. The car automates the walking, the kitchen stove the fire, but Machine Learning parts of the human intelligence. There is a difference between the previous automation steps and those of human intelligence. All the previous ones are either outside the human body – such as Fire – or unconsciously executed (once learned) – walking, spinning, etc. The automation induced by Machine Learning affects a part of the human intelligence that we consciously perceive. Of course, today’s machine learning tools are unable to automate all human intelligence, but it is a fascinating step in that direction.

A breakthrough in Machine Learning tasks was achieved in 2012 when the first Deep Learning algorithm for detecting types of images, reached near-human accuracy. It could appreciate the likelihood that the image is a human face, a train, a ball or a fish without having “seen” the picture before. Such an algorithm can be used in various areas:  personally – facial recognition in pictures and/or social media – as tagging of images or videos, medicine – cancer detection, etc. For understanding such cutting-edge issues of classification, one cannot avoid understanding how Deep Learning works. To see the beauty of such algorithms and, at the same time, to be able to comprehend the difficulty of working with them, an example will be the best guide.

The building blocks of Deep Learning are neurons, operational units, which perform mathematical operations or logical operations like AND, OR, etc., and are modelled after the neurons in the brain. Already in the 1950’s two neuroscientist, Hubel and Wiesel, observed that not all neurons in the brain are responding in the same fashion to visual stimuli. Some responded only to horizontal lines, whereas others to vertical lines, with other words, the brain is constructed with specialized neurons. Groups of such neurons are called, in the Machine Learning community, layers. Like in the brain, neurons with different properties are clustered in different layers. This implies that layers have also specific properties and have to be arranged in a specific way, called architecture. It is this architecture which differentiates Deep Learning from Artificial Neuronal Networks (ANN are similar to a layer).

Unfortunately, scientists still haven’t figured out how the brain works, thus to discover how to train Deep Learning from data was not an easy task, and is also the reason why another example is used to explain the training of Deep Learning: the eye. One has always to remember: once it is known how Deep Learning works, it is simple to find example which illustrates the working mechanism.  For such an analogy, it is sufficient for someone without any knowledge about Deep Learning, to keep in mind only the elements that compose such architectures: input data, different layers of neurons, output layers, ReLu’s.

Input data are any type of information, in our example it is light. Of course, that Deep Learning is not limited only to images or videos, but also to sound and/or time series, which would imply that the example would be the ear and sound waves, or the brain and numbers.

Layers can be seen as cells in the eye. It is well known that the eye is formed of different layers connected to each other with each of them having different properties, functionalities. The same is true also for the layers of a Deep Learning architecture: one can see the neurons as cells of the layer as the tissue. While, mathematically, the neurons are nothing more than simple operations, usually linear weight functions, they can be seen as the properties of individual cells. Each layer has one weight matrix, which gives the neuron (and layer) specific properties depending on the data and the task at hand.

It is here that the architecture becomes very important. What Deep Learning offers is a default setting of the layers with unknown weights. One can see this as trying to build an eye knowing that there are different types of cells and different ways how tissues of such cells can be arranged, but not which cell exactly is needed (with what properties) and which arrangement of layers works best. Such an approach has the advantage that one is capable of building any type of organ desired, but the disadvantage is also very obvious: it is time consuming to find the appropriate cell properties and layers arrangements.

Still, the strategy of Deep Learning is a significant departure from the Machine Learning approaches. The performance of Machine Learning methods is as good as the features engineering performed by Data Scientists, and thus depending on the creativity of the Data Scientist. In the case of Deep Learning the engineers of the features is performed automatically as part of the model building. This is a huge improvement, as the only difficult task is to have enough data and computer power to find the right weights matrices. Such an endeavor was performed also by nature for the eye — and is also the reason why one can choose it as an example for Deep Learning — evolution. It is not surprising that Deep Learning is one of the best direction scientists have of Artificial Intelligence today.

The evolution of the eye can be seen, from the perspective of Data Scientists, as the continuous training of a Deep Learning architecture which enables to recognize and track one or more objects. The performance of the evolutional process can be summed up as the fine tuning of the cells which are getting more and more susceptible to light and the adaptation of layers to enable a better vision. Different animals in different environments and different targets — as the hawk and the fly — developed different eyes than humans, but they all work according to the same principle. The tasks that Deep Learning is performing today are similar, for example it can be used to drive cars but there is still a difference:  there is no connection to other organs. Deep Learning is not the approximation of an Artificial Organism, like an android, but a simplified Artificial Organ that can work on its own.

Returning to the working mechanism of the Deep Learning architecture, we can already follow the analogy of what happens if a ray of light is hitting the eye. Once the eye is fully adapted to the task, one can followed how the information enters the Deep Learning architecture (Artificial Eye) by penetrating the input layer. already here arises the question, what kind of eye is the best? One where a small source of light can reach as many neurons as possible, or the one where the light sources reaches only few neurons? In order to take such a decision, a last piece of the puzzle is required: ReLu. One can see them as synapses between neurons (cells) and/or similarly for tissue. By using continuous functions, such as the shape of the latter ‘S’ (called sigmoid), the information from one neuron will be distributed over a large number of other neurons. If one uses the maximum function, then only few neurons are updated with processed information from earlier layers.

Such sparse structures between neurons, was a major improvement in the development of the technique of training Deep Learning architectures. Again, it has a strong evolutionary analogy: energy efficiency. By needing less neurons, the tissues and architecture are both kept to a minimal size which enables flexibility in development and less energy. As the information is process by the different layers, the Artificial Eye is gathering more and more complex (non-linear) structures — the adapted features –, which help to decide, from past experience, what kind of object is detected.

This was part 1 of 2 of the article series. Part 2 will be published soon.

Machine Learning vs Deep Learning – Wo liegt der Unterschied?

Machine Learning gehört zu den Industrie-Trends dieser Jahre, da besteht kein Zweifel. Oder war es Deep Learning? Oder Artificial Intelligence? Worin liegt da eigentlich der Unterschied? Dies ist Artikel 1 von 5 der Artikelserie –Einstieg in Deep Learning.

Machine Learning

Maschinelles Lernen (ML) ist eine Sammlung von mathematischen Methoden der Mustererkennung. Diese Methoden erkennen Muster beispielsweise durch bestmögliche, auf eine bestmögliche Entropie gerichtete, Zerlegung von Datenbeständen in hierarchische Strukturen (Entscheidungsbäume). Oder über Vektoren werden Ähnlichkeiten zwischen Datensätzen ermittelt und daraus trainiert (z. B. k-nearest-Neighbour, nachfolgend einfach kurz: k-nN) oder untrainiert (z.B. k-Means) Muster erschlossen.

Algorithmen des maschinellen Lernens sind tatsächlich dazu in der Lage, viele alltägliche oder auch sehr spezielle Probleme zu lösen. In der Praxis eines Entwicklers für Machine Learning stellen sich jedoch häufig Probleme, wenn es entweder zu wenige Daten gibt oder wenn es zu viele Dimensionen der Daten gibt. Entropie-getriebene Lern-Algorithmen wie Entscheidungsbäume werden bei vielen Dimensionen zu komplex, und auf Vektorräumen basierende Algorithmen wie der k-nächste-Nachbarn-Algorithmus sind durch den Fluch der Dimensionalität in ihrer Leistung eingeschränkt.


Der Fluch der Dimensionalität

Datenpunkte sind in einem zwei-dimensionalen Raum gut vorstellbar und auch ist es vorstellbar, das wir einen solchen Raum (z. B. ein DIN-A5-Papierblatt) mit vielen Datenpunkten vollschreiben. Belassen wir es bei der Anzahl an Datenpunkten, nehmen jedoch weitere Dimensionen hinzu (zumindest die 3. Dimension können wir uns noch gut vorstellen), werden die Abstände zwischen den Punkten größer. n-dimensionale Räume können gewaltig groß sein, so dass Algorithmen wie der k-nN nicht mehr gut funktionieren (der n-dimensionale Raum ist einfach zu leer).


Auch wenn es einige Konzepte zum besseren Umgang mit vielen Dimensionen gibt (z. B. einige Ideen des Ensemble Learnings)

Feature Engineering

Um die Anzahl an Dimensionen zu reduzieren, bedienen sich Machine Learning Entwickler statistischer Methoden, um viele Dimensionen auf die (wahrscheinlich) nützlichsten zu reduzieren: sogenannte Features. Dieser Auswahlprozess nennt sich Feature Engineering und bedingt den sicheren Umgang mit Statistik sowie idealerweise auch etwas Fachkenntnisse des zu untersuchenden Fachgebiets.
Bei der Entwicklung von Machine Learning für den produktiven Einsatz arbeiten Data Scientists den Großteil ihrer Arbeitszeit nicht an der Feinjustierung ihrer Algorithmen des maschinellen Lernens, sondern mit der Auswahl passender Features.

Deep Learning

Deep Learning (DL) ist eine Disziplin des maschinellen Lernes unter Einsatz von künstlichen neuronalen Netzen. Während die Ideen für Entscheidungsbäume, k-nN oder k-Means aus einer gewissen mathematischen Logik heraus entwickelt wurden, gibt es für künstliche neuronale Netze ein Vorbild aus der Natur: Biologische neuronale Netze.

Prinzip-Darstellung eines künstlichen neuronalen Netzes mit zwei Hidden-Layern zwischen einer Eingabe- und Ausgabe-Schicht.

Wie künstliche neuronale Netze im Detail funktionieren, erläutern wir in den nächsten zwei Artikeln dieser Artikelserie, jedoch vorab schon mal so viel: Ein Eingabe-Vektor (eine Reihe von Dimensionen) stellt eine erste Schicht dar, die über weitere Schichten mit sogenannten Neuronen erweitert oder reduziert und über Gewichtungen abstrahiert wird, bis eine Ausgabeschicht erreicht wird, die einen Ausgabe-Vektor erzeugt (im Grunde ein Ergebnis-Schlüssel, der beispielsweise eine bestimmte Klasse ausweist: z. B. Katze oder Hund). Durch ein Training werden die Gewichte zwischen den Neuronen so angepasst, dass bestimmte Eingabe-Muster (z. B. Fotos von Haustieren) immer zu einem bestimmten Ausgabe-Muster führen (z. B. “Das Foto zeigt eine Katze”).

Der Vorteil von künstlichen neuronalen Netzen ist die sehr tiefgehende Abstraktion von Zusammenhängen zwischen Eingabe-Daten und zwischen den abstrahierten Neuronen-Werten mit den Ausgabe-Daten. Dies geschieht über mehrere Schichten (Layer) der Netze, die sehr spezielle Probleme lösen können. Aus diesen Tatsachen leitet sich der übergeordnete Name ab: Deep Learning

Deep Learning kommt dann zum Einsatz, wenn andere maschinelle Lernverfahren an Grenzen stoßen und auch dann, wenn auf ein separates Feature Engineering verzichtet werden muss, denn neuronale Netze können über mehrere Schichten viele Eingabe-Dimensionen von selbst auf die Features reduzieren, die für die korrekte Bestimmung der Ausgabe notwendig sind.

Convolutional Neuronal Network

Convolutional Neuronal Networks (CNN) sind neuronale Netze, die vor allem für die Klassifikation von Bilddaten verwendet werden. Sie sind im Kern klassische neuronale Netze, die jedoch eine Faltungs- und eine Pooling-Schicht vorgeschaltet haben. Die Faltungsschicht ließt den Daten-Input (z. B. ein Foto) mehrfach hintereinander, doch jeweils immer nur einen Ausschnitt daraus (bei Fotos dann einen Sektor des Fotos), die Pooling-Schicht reduzierte die Ausschnittsdaten (bei Fotos: Pixel) auf reduzierte Informationen. Daraufhin folgt das eigentliche neuronale Netz.

CNNs sind im Grunde eine spezialisierte Form von künstlichen neuronalen Netzen, die das Feature-Engineering noch geschickter handhaben.

Deep Autoencoder

Gegenwärtig sind die meisten künstlichen neuronalen Netze ein Algorithmen-Modell für das überwachte maschinelle Lernen (Klassifikation oder Regression), jedoch kommen sie auch zum unüberwachten Lernen (Clustering oder Dimensionsreduktion) zum Einsatz, die sogenannten Deep Autoencoder.

Deep Autoencoder sind neuronale Netze, die im ersten Schritt eine große Menge an Eingabe-Dimensionen auf vergleichsweise wenige Dimensionen reduzieren. Die Reduktion (Encoder) erfolgt nicht abrupt, sondern schrittweise über mehrere Schichten, die reduzierten Dimensionen werden zum Feature-Vektor. Daraufhin kommt der zweite Teil des neuronalen Netzes zum Einsatz: Die reduzierten Dimensionen werden über weitere Schichten wieder erweitert, die ursprünglichen Dimensionen als abstrakteres Modell wieder rekonstruiert (Decoder). Der Sinn von Deep Autoencodern sind abstrakte Ähnlichkeitsmodelle zu erstellen. Ein häufiges Einsatzgebiet sind beispielsweise das maschinelle Identifizieren von ähnlichen Bildern, Texten oder akkustischen Signalmustern.

Artificial Intelligence

Artificial Intelligence (AI) oder künstliche Intelligenz (KI) ist ein wissenschaftlicher Bereich, der das maschinelle Lernen beinhaltet, jedoch noch weitere Bereiche kennt, die für den Aufbau einer KI von Nöten sind. Eine künstliche Intelligenz muss nicht nur Lernen, sie muss auch Wissen effizient abspeichern, einordnen bzw. sortieren und abrufen können. Sie muss ferner über eine Logik verfügen, wie sie das Wissen und das Gelernte einsetzen muss. Denken wir an biologische Intelligenzen, ist es etwa nicht so, dass jegliche Fähigkeiten erlernt wurden, einige sind mit der Geburt bereits ausgebildet oder liegen als sogenannter Instinkt vor.

Ein einzelner Machine Learning Algorithmus würde wohl kaum einen Turing-Test bestehen oder einen Roboter komplexe Aufgaben bewältigen lassen. Daher muss eine künstliche Intelligenz weit mehr können, als bestimmte Dinge zu erlernen. Zum wissenschaftlichen Gebiet der künstlichen Intelligenz gehören zumindest:

  • Machine Learning (inkl. Deep Learning und Ensemble Learning)
  • Mathematische Logik
    • Aussagenlogik
    • Prädikatenlogik
    • Default-Logik
    • Modal-Logik
  • Wissensbasierte Systeme
    • relationale Algebra
    • Graphentheorie
  • Such- und Optimierungsverfahren:
    • Gradientenverfahren
    • Breitensuche & Tiefensuche

AI(ML(DL))

Buch-Empfehlungen

Grundkurs Künstliche Intelligenz: Eine praxisorientierte Einführung (Computational Intelligence) Praxiseinstieg Deep Learning: Mit Python, Caffe, TensorFlow und Spark eigene Deep-Learning-Anwendungen erstellen

Wieviele Trainungsbeispiele benötigen Lernverfahren? (1/2)

Kurz nach der Jahrtausendwende begann das Zeitalter der digitalen Daten. Seitdem übertrifft die Menge der digitalen Daten die der Analogen [HL11] und dem Maschinellen Lernen stehen enorme Datenmengen zur Verfügung. Unter dem Buzzword „big data“ wird dabei meist nur das reine Volumen gesehen, andere Faktoren, wie die Frequenz mit der die Daten zu verarbeiten sind und die Variabilität der Formate werden oft vernachlässigt, obwohl auch solche Daten unter „big data“ zusammengefasst werden. Betrachtet man das Volumen dann spielen zwei Faktoren eine zentrale Rolle, die das „big“ von „big data“ ausmachen: die Anzahl der Beispieldatensätze und – und dies wird häufig übersehen – die Anzahl der Eigenschaften mit denen die Beispieldaten beschrieben werden.
Wenn von „big data“ gesprochen wird, wird dabei oft angenommen, dass genügend Datensätze vorhanden sind. Für bestimmte Anwendungen jedoch, müssen die Daten in unterschiedliche Gruppen unterschieden werden, um beim Lernen nicht Äpfel und Birnen in einen Topf zu werfen. In solchen Fällen kann es leicht passieren, dass pro Gruppe zu wenig Beispieldaten vorhanden sind und die Frage an Bedeutung gewinnt: „Reichen die Datensätze eigentlich aus, um ein Vorhersagemodel mit einer gewissen Mindestgüte zu lernen?“.
Leider gibt es bisher keine einfache Antwort auf diese Frage, da diese neben der Anzahl der Eigenschaften – der Dimensionalität – der Daten, von der Struktur des Datenraums, der Verteilung der Daten in diesem Raum, dem verwendeten Lernverfahren, der Ausdrucksfähigkeit seiner Hypothesenrepräsentation und seiner endgültigen Parametrisierung abhängt. In der “Computational Learning Theory” wurden jedoch Ansätze zur Abschätzungen von Untergrenzen erarbeitet, die, unter der Annahme idealer Lernverfahren, zu mindestens eine Aussage über die benötigte Mindestmenge an Trainingsdaten gestatten.
Ziel dieses Beitrags ist es auf möglichst anschauliche Art und Weise anhand eines praktischen Beispiels zu zeigen, welchen Einfluss die Dimensionalität der Daten auf die Abschätzung der Anzahl der benötigten Beispiele für das Erlernen von Vorhersagemodellen – genauer einfachen Klassifikationsmodellen[1] – hat und welche Methoden hierfür existieren. In diesem ersten Teil liegt das Hauptaugenmerk auf endlichen Daten- und Hypothesenräumen und wir werden sehen, dass selbst für eine kleine Anzahl von Eigenschaften – sprich Dimensionen – nützliche Aussagen nur für sehr einfache Hypothesenrepräsentationen möglich sind. Im zweiten Teil werden wir einen Abschätzungsansatz betrachten, der die „Unterscheidungsstärke“ unterschiedlicher Lernverfahren berücksichtigt und mit dem auch Abschätzungen für unendliche Daten- und Hypothesenräume möglich werden.

Anwendungsbeispiel

Betrachten wir das Beispiel eines Online-Shops, der Produkte über das Internet verkauft und dessen Produkte klassifiziert werden sollen. Wie die Produkte klassifiziert werden sollen ist für unsere Betrachtungen unerheblich, was wir aber im Kopf haben sollten: der Absatz unterschiedlicher Produkte folgt einer Potenzverteilung. Eine kleine Zahl von Produkten wird sehr häufig verkauft, so dass für sie viele Datensätze existieren (solche Produkte werden gewöhnlicher Weise in konventionellen Geschäften vertrieben, die nur begrenzte Lagerkapazitäten haben). Der Großteil der Produkte wird jedoch eher seltener umgesetzt (auch als „long tail“ bezeichnet), so dass die Anzahl ihrer Datensätze gering ist; u.U. so gering, dass für sie keine verlässlichen Vorhersagemodelle erlernbar sind.

Zur Illustration gehen wir davon aus, dass in dem Online-Shop Produkte von 500 Marken verkauft werden und diese Produkte neben ihrer Marke durch ihre Größe (10 mögliche Werte), ihre Farbe (20 mögliche Werte), die ersten drei Ebenen der Google Produktkategorien (auf der dritten Ebene 500 mögliche Werte) und ihren Preis (im Bereich 0,49 – 100 €) beschrieben werden.

In diesem Kontext besitzt die Antwort auf die Frage: „Wie viele Daten werden überhaupt für ein Lernverfahren benötigt?“ offensichtlich konkreten Nutzen,

  • da wir abschätzen können, ob für ein konkretes Produkt überhaupt ein sinnvolles Vorhersagemodell erlernbar ist,
  • da wir aus der Abschätzung auf die Dauer der Datensammlung schließen können und
  • um ggf. die Daten von selten verkauften Produkten inhaltlich oder zeitlich zu aggregieren.

Was uns vorweg klar sein sollte

Die Daten, die wir zum Erlernen von Vorhersagemodellen verwenden, werden durch Eigenschaften (normalerweise als Feature, in der Statistik auch als Variablen bezeichnet) beschrieben. Die Eigenschaften werden in beobachtete und abhängige Eigenschaften (im Maschinellen Lernen auch als Label bezeichnet) unterschieden. Die Wertebereiche der Eigenschaften können in endliche und unendliche Wertebereich unterschieden werden.

Wir können nicht erwarten, dass ein Lernverfahren ein 100%ig korrektes Modell erlernt. Lernverfahren versuchen durch einen induktiven Schluss aus Daten ein Vorhersagemodell zu ermitteln. Da die zur Verfügung stehende Datenmenge immer begrenzt sein wird und die Daten damit realistischer Weise unvollständig sein werden, Messfehler und Inkonsistenzen enthalten können, kann auch ein erlerntes Modell niemals 100%ig korrekt sein.

Viele unterschiedliche Modelle können konsistent mit den verfügbaren Daten sein. Ziel des Lernverfahrens ist es daher mit den verfügbaren Daten das bestmögliche Vorhersagemodell zu ermitteln.

Wir müssen in Kauf nehmen, dass unbekannte, zukünftige oder ungewöhnliche Daten zu fehlerhaften Vorhersagen führen. Zum Lernzeitpunkt ist nur ein Ausschnitt aller Daten verfügbar. Zukünftig erhobene Daten können Veränderungen unterliegen oder es können bisher noch nicht gesehene Fälle auftreten, auf die das erlernte Modell nicht mehr richtig passt.

Aus diesen Fakten ergibt sich die einzig realistische Annahme: ein gutes Lernverfahren soll mit großer Wahrscheinlichkeit eine gute Näherung des richtigen Vorhersagemodells erlernen.

Anzahl benötigter Trainingsfälle

Zur Abschätzung der Anzahl benötigter Trainingsfälle – als Beispielkomplexität (sample complexity) bezeichnet – wurden in der Computational Learning Theory unterschiedliche Ansätze entwickelt. Diese Ansätze beschreiben für idealisierte Lernverfahren unter welchen Bedingungen probabilistisch, approximativ, korrektes Lernen (PAC learning) effizient möglich ist. Grundlegend für die Einsetzbarkeit dieser Ansätze ist die Unterscheidung, ob das Lernen in einem endlichen oder unendlichen Hypothesenraum erfolgt, und ob das Lernverfahren konsistente Hypothesen oder nur näherungsweise Hypothesen, z.B. beim Vorliegen von Messfehlern, zu den Daten erlernen kann.

Endliche Datenräume

Sofern die Daten nur durch nominelle Eigenschaften mit endlichen Wertebereichen beschrieben werden[2], lässt sich die Größe des Datenraums relativ einfach bestimmen. Die folgende Tabelle beschreibt für die wichtigsten nominellen Eigenschaftstypen Größenfaktoren, die im Folgenden zur vereinheitlichten Darstellung verwendet werden:

Type
t
Fehlende Werte (NA) ? Größe des Wertebereichs
n
Größenfaktor g(t)
Boolean Nein 2 2
Boolean Ja 2 3
Nominal (Menge) Nein n_t n_t
Nominal (Menge) Ja n_t n_t+1

Die Größe eines endlichen d-dimensionalen Datenraums D kann allgemein mit folgender Formel bestimmt werden |D| = \prod_{i=1}^d{g(t_i)}.

Das Lernproblem besteht darin: aus einer Teilmenge von Trainingsbeispielen S  aus dem Datenraum D, i.e. S \subset D, die ein Trainer dem Lernverfahren vorgibt, um Zielkonzept c zu erlernen, eine Hypothese aus dem Hypothesenraum h \in H des Lernverfahrens zu ermitteln, welche (möglichst) alle positiven Beispiel S_p  umfasst und (möglichst) alle negativen Beispiele S_n  ausschließt.

Einfache Hypothesenrepräsentation

Die einfachste Hypothesenrepräsentation, in der Lernen, welches über einfaches Erinnern hinausgeht, sinnvoll ist, sind Disjunktionen von Bool’schen Eigenschaften. Eine Beispielanwendung für die diese Repräsentation Sinn macht, ist das Erkennen von Spam-Emails anhand des Vorliegens unterschiedlicher alternativer Eigenschaften, die Spam-Emails charakterisieren. Der Hypothesenraum dieser Sprache besitzt eine Größe von |H| = 2^d [FoDS18]. Ein Beispiel für ein verbreitetes Lernverfahren, das eine Hypothesenrepräsentation dieses Typs nutzt, ist Naive Bayes.

Beliebige nominelle Eigenschaften können durch One-Hot- oder Dummy-Encoding als Bool’sche Variablen kodiert werden. Damit ergibt sich zum Erlernen von Disjunktionen kodierter, Bool’scher Eigenschaften die Größe des Hypothesenraums als |H| = 2^{\sum_{i=1}^d{g(t_i)}}.

Um unser Produktbeispiel in dieser Sprache zu repräsentieren, müssen die Eigenschaften geeignet kodiert werden, z.B. durch One-Hot- oder Dummy-Encoding, bei dem jeder Wert einer Eigenschaft durch eine neue bool’sche Variable kodiert wird. Hieraus ergeben sich im Fall von One-Hot-Encoding 500+10+20+500+9941=10.971 und im Fall von Dummy-Encoding 499+9+19+499+9940=10.966 neue Bool’sche Eigenschaften.

Eigenschaftsvektoren (Feature-Vektoren, bzw. Konjunktionen von Eigenschaften) stellen die nächstkomplexere Repräsentationssprache dar, die, solange sie nicht um ein Konstrukt zur Verallgemeinerung erweitert wird, sehr unspektakulär ist, da Beispiele mit ihr lediglich erinnert werden. Erst wenn ein „don’t care“-Symbol, wie z.B. „?“, für beliebige Eigenschaftswerte hinzugefügt wird, wird die extremste Form von Generalisierung möglich, die von einzelnen Werten gleich auf alle Werte generalisiert [ML97]. Durch das „don’t care“-Symbol wird der Größenfaktor g um einen weiteren Wert erhöht. Für diese Repräsentation beträgt die Größe des Hypothesenraums  über rein bool‘schen Eigenschaften (inkl. „don’t care“)  |H| = 3^d und für allgemeine endliche Eigenschaften|H| = \prod_{i=1}^d{(g(t_i)+1)}. Diese Repräsentation ist sehr eingeschränkt und erlaubt es nur einzelne und keine kombinierten Konzepte zu erlernen. Sie ist daher eigentlich nur von theoretischem Interesse und wird – soweit bekannt – in keinem praktisch eingesetzten Lernverfahren genutzt.

Interessanter ist eine Verallgemeinerung dieser Repräsentationssprache, die k-CNF (konjunktive Normalform), die aus einer Konjunktion von Disjunktionen der Länge k besteht, die sowohl polynomielle Beispiel- als auch Zeitkomplexität besitzt [ML97] und für die ein effizienter Algorithmus existiert. Diese Repräsentation lässt sich auch auf einen d-dimensionalen Eigenschaftsvektor übertragen, in dem für jede Eigenschaft Generalisierungen über beliebige Teilmengen erlaubt werden. Die Größe des Hypothesenraums dieser Sprache beträgt |H| = \prod_{i=1}^d{2^{g(t_i)}} = 2^{\sum_{i=1}^d{g(t_i)}}. Mit dieser Sprache können alle Eigenschaften zwar separat auf beliebige Teilmengen generalisiert werden, Korrelationen zwischen Eigenschaften werden jedoch nicht berücksichtigt.

Für Repräsentationssprachen, die keinerlei Einschränkungen machen, besitzt der Hypothesenraum für Daten mit d bool‘schen Eigenschaften eine Größe von |H| = 2^{2^d}. Auf beliebige endliche Eigenschaften übertragen, kann diese Aussage zu |H| = 2^{|D|} = 2^{\prod_{i=1}^d{g(t_i)}} verallgemeinert werden.

Wie aus diesen Abschätzungen ersichtlich wird, hat die Dimensionalität d der Daten einen direkten Einfluss auf die Größe des Hypothesenraums und damit auf die Anzahl der von einem Lernverfahren zu berücksichtigenden Konzepte.

Realistische Hypothesenrepräsentation

Bis auf einfache Disjunktionen bool’scher Eigenschaften, sind einfache Hypothesenrepräsentationen entweder zu ausdrucksschwach, so dass nützliche Konzepte kaum ausdrückbar sind, oder zu ausdrucksstark, so dass Lernen in vertretbarer nicht-exponentieller Zeit nicht möglich ist. Die gängigen Lernverfahren, wie k-Nearest Neighbors, Naive Bayes, Decision Trees, Random Forrests, AdaBoost, XGBoost, Logistic Regression, Support Vector Machines und Neuronale Netze, etc. beschränken durch spezifische Annahmen (inductive bias) den Hypothesenraum, um so nützliche Konzepte in vernünftiger Zeit zu erlernen.

Leider lassen sich nur für wenige der real eingesetzten Verfahren Abschätzungen für die Größe des Hypothesenraums finden.

Verfahren |H| Parameter
Boolean-coded Naive Bayes 2^{\sum_{i=1}^d{g(t_i)}}
Boolean-coded Decision Trees[3] 2^{\sum_{i=1}^d{g(t_i)}}
Boolean-coded Decision Trees with limited depth [4] 2(2^k-1)(1+log_2{⁡\sum_{i=1}^d{g(t_i)}} ) +1 k = Tiefenbegrenzung

Lernen eines zu allen Trainingsdaten konsistenten Konzepts (aka Overfitting)

Unter der Annahme eines idealen Lernalgorithmus, kann die Größe des Hypothesenraums dazu verwendet werden die Anzahl der Trainingsdaten m die ein „konsistenter Lernalgorithmus“[5] benötigt, um ein beliebiges Konzept mit einem maximalen Fehler \epsilon und einer Unsicherheit \delta (bzw. einer Wahrscheinlichkeit von 1 - \delta ) zu erlernen, abgeschätzt werden mit[6]

    \[m \geq \frac{1}{\epsilon}(ln{(|H|)} + ln{(\frac{1}{\delta})})\]

Nehmen wir für unser Beispielszenario an Produkt A wird stündlich im Durchschnitt 100 mal verkauft und Produkt B wird jeden Tag im Schnitt nur 10 mal verkauft.  Zur Vereinfachung nehmen wir weiter an, die Produkte werden jeden Tag – egal ob Wochentag oder Wochenende – nur zwischen 6:00 und 20:00 Uhr verkauft. Pro Monat erhalten wir für Produkt A 42.000 Datensätze und für Produkt B 300 Datensätze.

Der Datenraum D hat eine Größe von |D| = 500*10*20*500*9941 \approx 497 Mrd. Punkten. Mit einer einfachen bool’schen Kodierung ergibt sich d = 500+10+20+500+9951 = 10.971 und |H| = 2^{10.961}.

Wollten wir Datensätze dieser Produkte mit einem Fehler \epsilon von maximal 10% und einer maximalen Unsicherheit \delta = 5% – wie auch immer – klassifizieren, so würden wir für den Einsatz von Naive Bayes oder unbegrenzten DecisionTrees mindestens 76.145 Datensätze benötigen. Weder die monatlichen Daten von Produkt A noch Produkt B würden ausreichen.

Mit einem tiefenbeschränkten Entscheidungsbaum-Verfahren mit 5 Stufen, sind, ungeachtet der Qualität des Lernergebnisses, die Daten von Produkt A und B ausreichend, um die Anforderungen an \epsilon und \delta einzuhalten, da nur mindestens 91 Datensätze benötigt werden.

Ein, dieser Abschätzung zugrundeliegender, idealer Lernalgorithmus, ist jedoch für praktische Anwendungen unrealistisch, da er zwar für die Trainingsdaten ein konsistentes Konzept ermitteln würde, welches aber bei unbekannten, neuen Daten versagen kann. Der angenommene Lernalgorithmus unterliegt der „Überanpassung“ (overfitting).

Nichts desto trotz ist diese Abschätzungsformel hilfreich, da sie eine Aussage erlaubt, wie viele Trainingsbeispiele im besten Fall ausreichen, um mit einem idealen Lernverfahren ein Konzept mit einem maximalen Fehler von \epsilon und einer Unsicherheit von höchstens \delta zu erlernen, das in der genutzten Hypothesenrepräsentation ausdrückbar ist.

Agnostisches Lernen eines Konzeptes, das möglichst gut zu den Trainingsdaten passt

Überanpassung wollen wir in der Regel vermeiden, damit die erlernten Vorhersagemodelle auch auf unbekannte, fehlerbehaftete oder teilweise inkonsistente Daten anwendbar sind. Anders ausgedrückt: das zu erlernende Konzept c kann etwas außerhalb des Hypothesenraums liegen, der durch das eingesetzte Lernverfahren erfasst wird. Dies bedeutet, dass wir im Hypothesenraum des Lernverfahrens nur eine Näherung c' erlernen können, die möglichst gut sein sollte. Solch ein – als agnostisch bezeichnetes – Lernverfahren muss daher bestrebt sein den Fehler zwischen den Trainingsdaten und dem Fehler der sich durch das Erlernen der Näherung c' ergibt möglichst klein zu halten.

Auch hierfür kann, unter der Annahme eines idealen Lernalgorithmus, die Größe des Hypothesenraums dazu verwendet werden die Anzahl der Trainingsdaten m die ein „agnostisches Lernverfahren“ benötigt, um eine gute Näherung an das zu erlernende Konzept in einem endlichen Hypothesenraum mit einem maximalen Fehler \epsilon und einer Unsicherheit \delta (bzw. einer Wahrscheinlichkeit von 1 - \delta) zu erlernen, abgeschätzt werden mit[6]

    \[m \geq \frac{1}{2\epsilon^2}(ln{(|H|)} + ln{(\frac{2}{\delta})})\]

Auf das Beispiel angewendet müsste sich – unter der Annahme gleicher Rahmenbedingungen – die Mindestzahl von Trainingsbeispielen auf m = 490 belaufen. D.h. die Daten von Produkt A könnten zum Lernen der Klassifikation verwendet werden, die Datenmenge für Produkt B wäre jedoch nicht ausreichend.

Folgerung

Mit diesem ersten Beitrag haben wir anhand eines kleinen realen Beispiels gezeigt, wie sich für einen idealen Lernalgorithmus über die Betrachtung der Größe endlicher Hypothesenräume, die Mindestanzahl der benötigten Trainingsbeispiel abschätzen lässt.

Auch wenn es sich hierbei um eine idealisierte Betrachtung handelt, erlauben solche Abschätzungen Aussagen darüber, wann Lernverfahren nur mit einem größeren Fehler behaftet einsetzbar sind.

Diese Betrachtung erstreckte sich bisher nur über endliche Eigenschaften und berücksichtigt die Komplexität der Hypothesenrepräsentation – eine der wesentlichen Eigenschaften eines Lernverfahrens – noch nicht. Dies wird Thema des zweiten Teils sein, in dem wir sehen werden, wie sich Abschätzung auf der Basis der – sogenannten – Vapnik-Chervonenkis-Dimension (VC-Dimension) für viele gängige Klassen von Lernverfahren einsetzen lassen.

Fußnoten

[1] Wir betrachten hierbei nur rein binäre, binomiale resp. Bool’sche Klassifikationsprobleme, deren Aussagen sich jedoch auch auf multinomiale Klassifikation und reell-wertige Vorhersagemodelle übertragen lassen (siehe [ESL09], Seite 238).

[2] Unendlich, überabzählbare Eigenschaften lassen sich in Abhängigkeit vom Anwendungsproblem und der erforderlichen Genauigkeit oft diskretisieren und als ordinale Daten oder Intervalle ganzer Zahlen repräsentieren, wie z.B. Alter, Körpergröße, Längen, Temperatur, und Zeitintervalle usw., wenn es ausreichend ist diese mit einer Genauigkeit von Jahren, cm, mm, Zehntelgrad oder Sekunden zu erfassen.

[3] Vollausgebaute Decision Trees unterliegen der Gefahr der „Überanpassung“ (overfitting) und werden in der Regel gestutzt, um dies zu vermeiden. Die Abschätzung stellt daher die Obergrenze dar.

[4] http://www.cs.cmu.edu/~guestrin/Class/10701/slides/learningtheory-bigpicture.pdf  und https://www.autonlab.org/_media/tutorials/pac05.pdf (Letzter Zugriff: 10.3.2018)

[5] Ein „konsistenter Lernalgorithmus“ erlernt Hypothesen, die – wann immer möglich – perfekt zu den Trainingsdaten passen [ML97].

[6] Details zur Ableitung der beschriebenen Untergrenzen finden sich u.a. in [ML97], [FoML12] oder [FoDS18].

Referenzen

[HL11] „The World’s Technological Capacity to Store, Communicate, and Compute Information“, M. Hilbert, P. López, Science 332, 60, 2011, http://www.uvm.edu/pdodds/files/papers/others/2011/hilbert2011a.pdf (letzter Zugriff: 14. März 2018)

[ESL09] “The Elements of Statistical Learning”, T. Hastie, R. Tibshirani, J. Friedman, 2nd Edition, Springer, 2009.

[ML97] „Machine Learning“, T. Mitchell, McGraw-Hill, 1997.

[FoML12] „Foundations of Machine Learning“, M. Mohri, A. Rostamizadeh, A. Talwalkar, The MIT Press, 2012.

[FoDS18] „Foundations of Data Science“, A. Blum, J. Hopcroft, R. Kannan, Cornell University, https://www.cs.cornell.edu/jeh/book.pdf, Jan. 4th, 2018 (letzter Zugriff: 14. März 2018)

Machine Learning: Online vs Offline

Das ist Artikel 4 von 4 aus der Artikelserie – Was ist eigentlich Machine Learning?

Die Begriffe online und offline sind mit vielen Bedeutungen versehen und so ist – wie bei vielen Unterscheidungsmöglichkeiten des maschinellen Lernens – die Verwirrung vorprogrammiert. Diese Unterscheidung betrifft die Trainingsphasen der parametrischen Verfahren des maschinellen Lernens.

Offline Learning

Mit Offline Learning ist nicht gemeint, dass der Algorithmus nicht ans Internet angebunden ist, sondern dass es sich bei der Trainingsprozedure um eine Stapelverarbeitung handelt. Daher wird manchmal auch vom Batch Learning gesprochen. Beim Batch Learning werden die Parameter bzw. das Modell erst angepasst, nachdem der gesamte Batch (Stapel an Datensätzen) das Training durchlaufen hat. Die gewöhnliche Gradientenmethode als ein Optimierungsverfahren ist das Gradientenabstiegsverfahren als Stapelverarbeitung. Dabei wird der Gradient, der die Richtung für die Anpassung der Gewichtungen der Funktionsparameter vorgibt, anhand der gesamten Trainingsdatenmenge berechnet.

Der Vorteil dieser Vorgehensweise ist, dass das Training als Prozess sehr schnell läuft und die Funktionsparameter direkt aus dem gesamten Datenbestand heraus bestimmt werden.

Demgegenüber steht der Nachteil, dass der ganze Stapel in den Arbeitsspeicher geladen werden muss, was eine entsprechend leistungsfähige Hardware voraussetzt. Soll das Lern-System für das Training live an einer Datenquelle (z. B. ein Data Stream aus dem Social Media) angebunden werden, müssen die Daten erstmal gespeichert werden (Bildung des Stapels), bevor sie verarbeitet und dann verworfen werden können, was den dafür nötigen Speicherplatz bedingt.

Online Learning

Beim Online-Learning wird nicht über einen Stapel (Batch) trainiert, sondern jeder einzelne Datensatz (aus einer großen Menge an Datensätzen oder live hinzugefügte Datensätze) wird dem Training einzeln hinzugefügt, trainiert und umgehend in eine Parameteranpassung (Modellanpassung) umgesetzt. Dies lässt sich beispielsweise mit der stochastischen Gradientenmethode realsieren, die iterativ arbeiten und den Gradienten zur Gewichtungsanpassung für jeden einzelnen Datensatz bestimmt, statt einen ganzen Batch zu verarbeiten und daraus einen Fehler zu berechnen. Online-Learning ist ein inkrementell arbeitendes Lernen, welches das Modell kontinuierlich – nämlich nach jedem Datensatz (Sample) – anpasst.

Die Optimierung läuft somit – wenn auf eine große Datenmenge angewendet wird – natürlich langsamer und ist eher nicht geeignet, wenn ein Training schnell verlaufen muss oder eine große Datenmenge die Hardware sowieso schon auslastet. Dafür wird das Modell beim Online-Learning in Echtzeit trainiert, wenn neue Daten zur Verfügung stehen. Neu hinzugefügte Daten fließen sofort ins Modell ein, so kann ein Lern-System als ein Live-System gleich auf Änderungen reagieren und die Trainingsdaten wieder verworfen werden (da sie bereits ins Training eingeflossen sind).

Mini-Batch-Verfahren

Während beim Online Learning alle Datensätze einzeln durchgegangen werden (dauert lange) und beim Offline Learning der gesamte Stapel an Datensätzen durchgearbeitet wird (viel Speicherplatzbedarf), ist der sogenannte Mini-Batch der Mittelweg. Wie der Name bereits andeutet, wird ein kleinerer Stapel (z. B. 50 Datensätze) gesammelt und verarbeitet.

Einstieg in Deep Learning – Artikelserie

Deep Learning gilt als ein Teilgebiet des maschinellen Lernens (Machine Learning), welches wiederum ein Teilgebiet der künstlichen Intelligenz (Artificial Intelligence) ist. Machine Learning umfasst alle (teilweise äußerst unterschiedliche) Methoden der Klassifikation oder Regression, die die Maschine über ein vom Menschen begleitetes Training selbst erlernt. Darüber hinaus umfasst Machine Learning auch unüberwachte Methoden zum Data Mining in besonders großen und vielfältigen Datenmengen.

Deep Learning ist eine Unterform des maschinellen Lernens und macht im Grunde nichts anderes: Es geht um antrainierte Klassifikation oder Regression. Seltener werden Deep Learning Algorithmen auch als unüberwachter Lernenmechanismus verwendet, zum Lernen von Rauschen zur Erkennung von Mustern (Data Mining). Deep Learning bezeichnet den Einsatz von künstlichen neuronalen Netzen, die gegenüber anderen Verfahren des maschinellen Lernens häufig überlegen sind und diesen gegenüber auch andere Vor- und Nachteile besitzen.

Im Rahmen dieser Artikelserie erscheinen im Laufe der kommenden Monate folgende Artikel:

  1. Machine Learning vs Deep Learning – Wo liegt der Unterschied?
  2. Funktionsweise künstlicher neuronaler Netze (erscheint demnächst)
  3. Training von künstlichen neuronalen Netzen (erscheint demnächst)
  4. Künstliches neuronales Netz in Python (erscheint demnächst)
  5. Künstliches neuronales Netz mit dem TensorFlow-Framework (erscheint demnächst)

Buchempfehlungen

Seit 2016 arbeite ich mich in Deep Learning ein und biete auch Seminare und Workshops zu Machine Learning und Deep Learning an, dafür habe ich eine ausführliche Einarbeitung und ein immer wieder neu auflebendes Literaturstudium hinter mir. Unter Anderen habe ich folgende Bücher für mein Selbststudium verwendet und nutze ich auch Auszugsweise für meine Lehre:


Praxiseinstieg Machine Learning mit Scikit-Learn und TensorFlow: Konzepte, Tools und Techniken für intelligente Systeme (Animals)

Neuronale Netze selbst programmieren: Ein verständlicher Einstieg mit Python

Praxiseinstieg Deep Learning: Mit Python, Caffe, TensorFlow und Spark eigene Deep-Learning-Anwendungen erstellen

Machine Learning mit Python und Scikit-Learn und TensorFlow: Das umfassende Praxis-Handbuch für Data Science, Predictive Analytics und Deep Learning (mitp Professional)

 

Maschinelles Lernen: Parametrisierte und nicht-parametrisierte Verfahren

Das ist Artikel 3 von 4 aus der Artikelserie – Was ist eigentlich Machine Learning?

Maschinelle Lernverfahren können voneinander unterschiedlich abgegrenzt werden, die den meisten Einsteigern bekannte Abgrenzung ist die zwischen überwachten und unüberwachten Verfahren. Eine weitere Abgrenzung zwischen den Lernverfahren, die weit weniger bekannt und verständlich ist, und um die es in diesem Artikel der Reihe gehen soll, ist die Unterscheidung in parametrisierte und nicht parametrisierte Lernverfahren. Gleich vorweg: Parametrisiert und nicht-parametrisierte bezieht sich auf das Modell (Trainingsergebnis), nicht auf die Algorithmen selbst (also nicht Parameter wie k-Werte, Iterations-, Gewichtungs- oder Regularisierungs-Parameter).

Parametrisierte Lernverfahren (parametric learning)

Parametrisierte Lernverfahren sind solche, die über ein Training mit sogenannten Trainingsdaten eine Funktion mit festen Parametern entwickeln, beispielsweise y = f(x) = x³ * a + x² * b + x *c + d. Diese Funktion hat dank einer festgesetzten Anzahl an Parametern eine feste Struktur, und genau dieser Fakt der Parameter-Struktur-Bestimmung a-priori macht das Lernverfahren zu einem parametrischen Lernverfahren. Nach dem Training stehen die Sturkur und die Parameter-Werte fest, beispielsweise y = x³ * 32 + x² * -4 + x * 2 + 102. Diese Funktion beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Input x und dem Output y. Am einfachsten kann man sich das Prinzip des parametrischen Lernens demnach mit der Regression vorstellen: Eine Gerade oder eine Kurve wird über ein Trainingslauf durch eine Punktwolke gezogen und daraus die Funktion abgeleitet. Bei der Prädiktion wird diese Funktion dann dazu verwendet, mit den neuen Input-Werten den Output zu berechnen.

Mit dem Festsetzen der Struktur der Funktion bereits vor dem Training sind einige Vor- und Nachteile verbunden:

Parametrische Lernverfahren sind manchmal etwas einfacher zu verstehen, da sich das Modell durchweg als “feste” Formel betrachten lässt. Dieser Vorteil ist jedoch gleichermaßen eine Einschränkung, denn parametrische Verfahren sind eher dazu geeignet, einfachere Zusammenhänge (mit nicht all zu vielen Dimensionen) zu berechnen. Dafür läuft das Training und vor allem die Prädiktion bei parametrischen Verfahren sehr viel schneller ab, als es bei nicht-parametrischen Verfahren der Fall ist, immerhin müssen die Eingabewerte bei der Prädiktion nur in die Funktion mit bekannter Struktur eingefügt und ausgerechnet werden. Man kann sich also merken: Beim parametrischen Lernen stehen die Parameter vorher fest, beim Training werden nur die “richtigen” Werte für die Parameter gefunden.

Schlussendlich kann generell gesagt werden, dass parametrische Funktionen weniger Datenpunkte als nicht-parametrische Lernverfahren benötigen und bei weniger Daten bessere Ergebnisse liefern. Bei sehr großen Datenmengen werden parametrische Funktionen eher schlechter gegenüber nicht-parametrischen Verfahren und neigen etwas zur Unteranpassung.

Zu den parametrischen Lernverfahren gehören:

  • Lineare und nicht-lineare Regression
  • Lineare Diskriminazanalyse
  • Logistische Regression
  • Naive Bayes Klassifikation
  • einfache künstliche neuronale Netze (z. B. MLP)
  • lineare Support Vector Machines (SVM)

Nicht-parametrisierte Lernverfahren (nonparametric learning)

Spricht man vom nicht-parametrisierten Lernen, ist die Verwirrung eigentlich vorprogrammiert, denn es bedeutet keinesfalls, dass es keine Parameter gibt, ganz im Gegenteil! Nicht-parametrische Verfahren arbeiten in aller Regel mit sehr viel mehr Parametern als die parametrischen Verfahren. Und nicht-parametrische Verfahren sind häufig dann im Einsatz, wenn die Anzahl an Daten und Dimensionen sehr groß ist und wenn nicht klar ist, welche Dimensionen voneinander unabhängig sind, aber in Abhängigkeit mit dem Klassifikations-/Regressionsergebnis stehen.

Auch nicht-parametrische Lernverfahren entwickeln eine Funktion, die den Zusammenhang zwischen dem Input und dem Output beschreibt. Jedoch wird die Struktur der Funktion vor dem Training nicht konkret über eine bestimmte Anzahl an Parametern festgelegt. Die Anzahl an Parametern wird erst zur Laufzeit des Trainings bestimmt und hier könnte jede neue Zeile in der Tabelle der Trainingsdaten einen neuen Parameter bedeuten (also beispielsweise dazu führen, dass ein neuer Ast eines Entscheidungsbaumes entsteht – oder auch nicht!).

Die Modellstruktur wird nicht über eine Funktion mit festen Parametern festgelegt, sondern bei jeder Prädiktion aus den Daten ermittelt. Tendenziell neigen nicht-parametrisierte Verfahren etwas mehr zur Überanpassung als parametrisierte Verfahren.

Zu den nicht-parametrisierten Lernverfahren gehören:

  • k-nächste Nachbarn Klassifikation/Regression
  • Entscheidungsbaum Klassifikation/Regression
  • Nicht-lineare Support Vector Machines (RBF Kernel SVM)

Kleiner Abgleich des Verständnisses

Der Unterschied zwischen parametrisierten und nicht-parametrisierten Verfahren wird so häufig falsch verstanden, dass es sich lohnt, etwas Zeit in eine kleine Wiederholung zu investieren, jedoch aus der FAQ-Perspektive:

Warum ist die Regressionsanalyse ein parametrisiertes Lernverfahren?

Bei der klassischen Regressionsrechnung müssen wir noch vor dem Training festlegen, über welche Funktion wir trainieren wollen. Eine lineare Funktion wie y = x * a + b? Oder doch lieber eine nicht-lineare Funktion wie y = x² * a + x * b + c? Die Struktur der Funktion, mit der wir die Punktwolke beschreiben möchten und mit der wir dann im Nachgang Prädiktionen für unbekannte x-Werte berechnen möchten, muss vor dem Training bestimmt werden.

Warum ist die k-nächste-Nachbarn-Bestimmung ein nicht-parametrisiertes Lernverfahren?

Hierbei handelt es sich um ein Lernen durch Ähnlichkeitsanalyse. Es werden gelabelte Datenpunkte gesammelt und erst bei der Prädiktion wird die multidimensionale Ähnlichkeit des neuen Datenpunktes mit den bekannten Datenpunkten bestimmt (Matrizen-Bildung über Distanzen zwischen den Datenpunkten im multidimensionalen Vektorraum). Das Modell lässt sich vorher nicht mal adäquat bestimmen.

Das Modell liegt sozusagen in den Daten. Der k-nächste-Nachbarn-Algorithmus (k-nN) zählt deshalb übrigens nicht nur zum nicht-parametrisierten Lernen, sondern ist darüber hinaus auch noch ein instanzbasiertes Lernen (Lazy Learning).

Warum sind Entscheidungsbäume nicht-parametrisierte Lernverfahren?

Entscheidungsbäume entwerfen Funktionen, die eine auf das Ergebnis bezogene Datenverteilung beschreiben. Jedoch wird vor der Entstehung dieses Modells (also vor dem Training) nicht die Anzahl der Parameter vorgegeben. Zwar ist es üblich, eine maximale Tiefe des Baumes vorzugeben (auch um Überanpassung zu vermeiden),  das Modell (die Struktur des Baumes) hängt jedoch von den Daten ab.

Warum ist Naive Bayes Klassifikation ein parametrisiertes Lernverfahren?

Naive Bayes Klassifikation gilt grundsätzlich als ein parametrisches Lernverfahren. Der Klassifikator errechnet eine Wahrscheinlichkeit, einer bestimmten Klasse zugehörig zu sein, über ein Produkt aus Wahrscheinlichkeiten des Auftretens voneinander (naive) unabhängiger Eingaben (x1, x2,… xn), in der Regel als multinominales Vokabular. Jede Eingabe (eindeutiges Element aus dem Vokabular) ist im Grunde eine Dimension und stellt einen Parameter dar, der im Vorfeld bekannt sein muss.

Es gibt allerdings auch Abwandlungen des Naive Bayes Klassifikators, bei denen mit Dichteschätzungen (1D Kernel Dichteschätzung) gerechnet wird, dann haben wir es wiederum mit Parametern zutun, die erst während der Trainingsphase entstehen.

Warum können Support Vector Machines sowohl parametrisierte als auch nicht-parametrisierte Lernverfahren darstellen?

Bei der linearen SVM werden die Werte der Parameter einer linearen Funktion (= feste Anzahl an Parametern) berechnet, die zwei Klassen linear trennt. Bei der nicht-linearen Klassentrennung funktioniert das leider nicht so einfach und es müssen kompliziertere Verfahren verwendet werden. Die bekannteste ist die Radial Basis Function Kernel-basierte SVM. Bei dieser RBF Kernel SVM wird eine Matrix über berechnete Distanzen zwischen den Datenpunkten erstellt und als Parameter verwendet. Da diese Parameter-Anzahl von den Daten abhängt, haben wir es mit einer nicht-parametrisierten Methode zutun (ähnlich wie beim k-nN).

Data Science Modeling and Featurization

Overview

Data modeling is an essential part of the data science pipeline. This, combined with the fact that it is a very rewarding process, makes it the one that often receives the most attention among data science learners. However, things are not as simple as they may seem, since there is much more to it than applying a function from a particular class of a package and applying it on the data available.

A big part of data science modeling involves evaluating a model, for example, making sure that it is robust and therefore reliable. Also, data science modeling is closely linked to creating an information rich feature set. Moreover, it entails a variety of other processes that ensure that the data at hand is harnessed as much as possible.

What Is a Robust Data Model?

When it comes to robust models, worthy of making it to production, these need to tick several boxes. First of all, they need to have a good performance, based on various metrics. Oftentimes a single metric can be misleading, as how well a model performs has many aspects, especially for classification problems.

In addition, a robust model has good generalization. This means that the model performs well for various datasets, not just the one it has been trained on.

Sensitivity analysis is another aspect of a data science modeling, something essential for thoroughly testing a model to ensure it is robust enough. Sensitivity is a condition whereby a model’s output is bound to change significantly if the inputs change even slightly. This is quite undesirable and needs to be checked since a robust model ought to be stable.

Finally, interpretability is an important aspect too, though it’s not always possible. This has to do with how easy it is to interpret a model’s results. Many modern models, however, are more like black boxes, making it particularly difficult to interpret them. Nevertheless, it is often preferable to opt for an interpretable model, especially if we need to defend its outputs to others.

How Is Featurization Accomplished?

In order for a model to maximize its potential, it needs an information rich set of features. The latter can be created in various ways. Whatever the case, cleaning up the data is a prerequisite. This involves removing or correcting problematic data points, filling in missing values wherever possible, and in some cases removing noisy variables.

Before you can use variables in a model, you need to perform normalization on them. This is usually accomplished through a linear transformation ensuring that the variable’s values are around a certain range. Oftentimes, normalization is sufficient for turning your variables into features, once they are cleaned.

Binning is another process that can aid in featurization. This entails creating nominal (discreet) variables, which can in turn be broken down into binary features, to be used in a data model.

Finally, some dimensionality reduction method (e.g. PCA) can be instrumental in shaping up your feature-set. This has to do with creating linear combinations of features, aka meta-features, which express the same information in fewer dimensions.

Some Useful Considerations

Beyond these basic attributes of data science modeling there several more that every data scientist has in mind in order to create something of value from the available data. Things like in-depth testing using sensitivity analysis, specialized sampling, and various aspects of model performance (as well as tweaking the model to optimize for a particular performance metric) are parts of data science modeling that require meticulous study and ample practice. After all, even though this part of data science is fairly easy to pick up, it takes a while to master, while performing well in it is something that every organization can benefit from.

Resources

To delve more into all this, there are various relevant resources you can leverage, helping you in not just the methodologies involved but also in the mindset behind them. Here are two of the most useful ones.

  1. Data Science Modeling Tutorial on the Safari platform
  2. Data Science Mindset, Methodologies and Misconceptions book (Technics Publications)

Maschinelles Lernen: Klassifikation vs Regression

Das ist Artikel 2 von 4 aus der Artikelserie – Was ist eigentlich Machine Learning? Die Unterscheidung zwischen Klassifikation und Regression ist ein wichtiger Schritt für das Verständnis von Predictive Analytics. Nun möchte ich eine Erklärung liefern, die den Unterschied (hoffentlich) deutlich macht.

Regression – Die Vorhersage von stetigen Werten

Wir suchen bei der Regression demnach eine Funktion y = \alpha \cdot x + \beta, die unsere Punktwolke – mit der wir uns zutrauen, Vorhersagen über die abhängige Variable vornehmen zu können – möglichst gut beschreibt. Dabei ist y der Zielwert (abhängige Variable) und x der Eingabewert. Wir arbeiten also in einer zwei-dimensionalen Welt. Variablen, die die Funktion mathematisch definieren, werden oft als griechische Buchstaben darsgestellt. Die Variable \alpha (Alpha) ist der y-Achsenschnitt bei x = 0. Dieser wird als Bias, selten auch als Default-Wert, bezeichnet. Der Bias ist also der Wert, wenn die x-Eingabe gleich Null ist. Eine weitere Variable \beta (Beta) beschreibt die Steigung.

Ferner ist zu beachten, dass sich eine Punktwolke durch eine Gerade nie perfekt beschreiben lässt, und daher für jedes x_{i} ein Fehler \varepsilon_{i} existiert. Diesen Fehler wollen wir in diesem Artikel ignorieren.

In einem zwei-dimensionalen System (eine Eingabe und eine Ausgabe) sprechen wir von einer einfachen Regression. Generalisieren wir die Regressionsmethode auf ein multivariates System (mehr als eine Eingabe-Variable), werden die Variablen in der Regel nicht mehr als griechische Buchstaben (denn auch das griechische Alphabet ist endlich) dargestellt, sondern wir nehmen eines abstrahierende Darstellung über Gewichtungen (weights). Dies ist eine sehr treffende Symbolisierungen, denn sowohl der Bias (w_{0} statt \alpha) als auch die Steigungen (w_{1\ldots n}) sind nichts anderes als Gewichtungen zwischen den Eingaben.

    \[y = w_{0} \cdot x_{0} + w_{1} \cdot x_{1} + \ldots + w_{n} \cdot x_{n}\]

y ist eine Summe aus den jeweiligen Produkten aus x_{i} und w_{i}. Verkürzt ausgedrückt:

    \[y = \sum_{i=0}^n w_{i} \cdot x_{i}\]

Noch kürzer ausgedrückt:

    \[y = w^T \cdot x\]

Anmerkung: Das hochgestellte T steht für Transponieren, eine Notation aus der linearen Algebra, die im Ergebnis nichts anderes bewirkt als y = \sum_{i=0}^n w_{i} \cdot x_{i}.

Diese mathematische lineare Funktion kann wie folgt abgebildet werden:

Der Output ist gleich y bzw. die Ausgabe der Nettoeingabe (Net Sum) w^T \cdot x. Auf der linken Seite finden wir alle Eingabewerte, wobei der erste Wert statisch mit 1.0 belegt ist, nur für den Zweck, den Bias (w_{0}) in der Nettoeingabe aufrecht zu erhalten. Im Falle einer einfachen linearen Regression hätten wir also eine Funktion mit zwei Gewichten: y = 1 \cdot w_{0} + x \cdot w_{1}

Das Modell beschreibt, wie aus einer Reihe von Eingabewerten (n = Anzahl an x-Dimensionen) und einer Reihe von Gewichtungen (n + 1) eine Funktion entsteht, die einen y-Wert berechnet. Diese Berechnung wird auch als Forward-Propagation bezeichnet.
Doch welche Werte brauchen wir für die Gewichtungen, damit bei gegebenen x-Werten ein (mehr oder weniger) korrekter y-Wert berechnet wird? Anders gefragt, wie schaffen wir es, dass die Forward-Propagation die richtigen Werte ausspuckt?

Mit einem Training via Backpropagation!


Einfache Erklärung der Backpropagation

Die Backpropagation ist ein Optimierungsverfahren, unter Einsatz der Gradientenmethode, den Fehler einer Forward-Propagation zu berechnen und die Gewichtungen in Gegenrichtung des Fehlers anzupassen. Optimiert wird in der Form, dass der Fehler minimiert wird. Es ist ein iteratives Verfahren, bei dem mit jedem Iterationsschritt wieder eine Forward-Propagation auf Basis von Trainingsdaten durchgeführt wird und die Prädiktionsergebnisse mit den vorgegebenen Ergebnissen (der gekennzeichneten Trainingsdaten) verglichen und damit die Fehler berechnet werden. Die resultierende Fehlerfunktion ist konvex, ableitbar und hat ein zentrales globales Minimum. Dieses Minimum finden wir durch diese iterative Vorgehensweise.


Die Backpropagation zu erklären, erfordert einen separaten Artikel. Merken wir uns einfach: Die Backpropagation nutzt eine Fehlerfunktion, um die Werte der Gewichtungen schrittweise entgegen des Fehlers (bei jeder Forward-Propagation) bis zu einem Punkt anzupassen, bis keine wesentliche Verbesserung (Reduzierung des Fehlers) mehr eintritt. Nach dem Vollzug der Backpropagation erhalten wir die “richtigen” Gewichtungen und haben eine Funktion zur Vorhersage von y-Werten bei Eingabe neuer x-Werte.

Klassifikation – Die Vorhersage von Gruppenzugehörigkeiten

Bei der Klassifikation möchten wir jedoch keine Gerade oder Kurve vorhersagen, die sich durch eine Punktwolke legt, sondern wie möchten Punktwolken voneinander als Klassen unterscheiden, um später hinzukommende Punkte ihren richtigen Klassen zuweisen zu können (Klassifikation). Wir können jedoch auf dem vorherigen Modell der Prädiktion von stetigen Werten aufbauen und auch die Backpropagation zum Training einsetzen, möchten das Training dann jedoch auf die Trennung der Punktwolken ausrichten.

Hinweis: Regressions- und Klassifikationsherausforderungen werden in den Dimensionen unterschiedlich dargestellt. Zur Veranschaulichung: Während wir bei der einfachen Regression eine x-Eingabe als unabhängige Variable und eine y-Ausgabe als abhängige Variable haben, haben wir bei einer zwei-dimensionalen Klassifikation zwei x-Dimensionen als Eingabe. Die Klassen sind die y-Ausgabe (hier als Farben visualisiert).

Ergänzen wir das Modell nun um eine Aktivierungsfunktion, dass die stetigen Werte der Nettosumme über eine Funktion in Klassen unterteilt, erhalten wir einen Klassifikator: Den Perceptron-Klassifikator. Das Perzeptron gilt als der einfachste Klassifikator und ist bereits die kleinste Form eines künstlichen neuronalen Netzes. Es funktioniert nur bei linearer Trennbarkeit der Klassen.

Was soll die Aktivierungsfunktion bewirken? Wir berechnen wieder eine Nettoeingabe w^T \cdot x, die uns stetige Werte ausgiebt. Wir haben also immer noch unsere Gewichtungen, die wir trainieren können. Nun trainieren wir nur nicht auf eine “korrekte” stetige Ausgabe der Nettoeingabe hin, sondern auf eine korrekte Ausgabe der Aktivierungsfunktion \phi (Phi), die uns die stetigen Werte der Nettoeingabe in einen binären Wert (z. B. 0 oder 1) umwandelt. Das Perzeptron ist die kleinste Form des künstlichen neuronalen Netzes und funktioniert wie der lineare Regressor, jedoch ergänzt um eine Aktivierungsfunktion die bewirken soll, dass ein Neuron (hier: der einzelne Output) “feuert” oder nicht “feuert”.  Es ist ein binärer Klassifikator, der beispielsweise die Wertebereiche -1 oder +1 annehmen kann.

Das Perceptron verwendet die einfachste Form der Aktivierungsfunktion: Eine Sprungfunktion, die einer einfachen if… else… Anweisung gleich kommt.

    \[ y = \phi(w^T \cdot x) = \left\{ \begin{array}{12} 1  &  w^T \cdot x > 0\\ -1 & \text{otherwise} \end{array} \]

Fazit – Unterschied zwischen Klassifikation und Regression

Mathematisch müssen sich Regression und Klassifikation gar nicht all zu sehr voneinander unterscheiden. Viele Verfahren der Klassifikation lassen sich mit nur wenig Anpassung auch zur Regression anwenden, oder umgekehrt. Künstliche neuronale Netze, k-nächste-Nachbarn und Entscheidungsbäume sind gute Beispiele, die in der Praxis sowohl für Klassifkation als auch für Regression eingesetzt werden, natürlich mit unterschiedlichen Stärken und Schwächen.

Unterschiedlich ist jedoch der Zweck der Anwendung: Bei der Regression möchten wir stetige Werte vorhersagen (z. B. Temperatur der Maschine), bei der Klassifikation hingegen Klassen unterscheiden (z. B. Maschine überhitzt oder überhitzt nicht).

Unterschiede zwischen linearer und nicht-linearer Klassifikation und linearer und nicht-linearer Regression. Für Einsteiger in diese Thematik ist beachten, dass jede maschinell erlernte Klassifikation und Regression einen gewissen Fehler hat, der unter Betrachtung der Trainings- und Testdaten zu minimieren ist, jedoch nie ganz verschwindet.

Und Clustering?

Clustering ist eine Disziplin des unüberwachten Lernens, um Gruppen von Klassen bzw. Grenzen dieser Klassen innerhalb von unbekannten Daten zu finden. Es ist im Prinzip eine untrainierte Klassifikation zum Zwecke des Data Minings. Clustering gehört auch zum maschinellen Lernen, ist aber kein Predictive Analytics. Da keine – mit dem gewünschten Ergebnis vorliegende – Trainingsdaten vorliegen, kann auch kein Training über eine Backpropagation erfolgen. Clustering ist folglich eine schwache Klassifikation, die mit den trainingsbasierten Klassifikationsverfahren nicht funktioniert.

ID3-Algorithmus: Ein Rechenbeispiel

Dieser Artikel ist Teil 3 von 4 der Artikelserie Maschinelles Lernen mit Entscheidungsbaumverfahren und nun wollen wir einen Entscheidungsbaum aus Daten herleiten, jedoch ohne Programmierung, sondern direkt auf Papier (bzw. HTML :-).

Folgender Datensatz sei gegeben:

Zeile Kundenart Zahlungsgeschwindigkeit Kauffrequenz Herkunft Zahlungsmittel: Rechnung?
 1  Neukunde  niedrig  niedrig  Inland  false
 2  Neukunde  niedrig  niedrig  Ausland  false
 3  Stammkunde  niedrig  niedrig  Inland  true
 4  Normalkunde  mittel  niedrig  Inland  true
 5  Normalkunde  hoch  hoch  Inland  true
 6  Normalkunde  hoch  hoch  Ausland  false
 7  Stammkunde  hoch  hoch  Ausland  true
 8  Neukunde  mittel  niedrig  Inland  false
 9  Neukunde  hoch  hoch  Inland  true
 10  Normalkunde  mittel  hoch  Inland  true
 11  Neukunde  mittel  hoch  Ausland  true
 12  Stammkunde  mittel  niedrig  Ausland  true
 13  Stammkunde  niedrig  hoch  Inland  true
 14  Normalkunde  mittel  niedrig  Ausland  false

Gleich vorweg ein Disclaimer: Der Datensatz ist natürlich überaus klein, ja gerade zu winzig. Dafür würden wir in der Praxis niemals einen Machine Learning Algorithmus einsetzen. Dennoch bleiben wir besser übersichtlich und nachvollziehbar mit diesen 14 Zeilen. Das Lernziel dieser Übung ist es, ein Gefühl für die Erstellung von Entscheidungsbäumen zu erhalten.
Zu beachten ist ferner, dass dieser Datensatz bereits aggregiert ist, denn eigentlich nummerisch abbildbare Daten wurden in Klassen zusammengefasst.

Das Ziel:

Der Datensatz spielt wieder, welchem Kunden (ID) bisher die Zahlung per Rechnung erlaubt und nicht widerrufen wurde. Das Ziel soll sein, eine Vorhersage darüber zu machen zu können, wann ein Kunde per Rechnung zahlen darf und wann nicht (dann per Vorkasse).

Der Algorithmus:

Wir verwenden den ID3-Algorithmus in seiner Reinform. Der ID3-Algorithmus ist der gängigste Algorithmus zum Aufbau datengetriebener Entscheidungsbäume und es gibt mehrere Abwandlungen. Die Vorgehensweise des Algorithmus wird in dem Teil 2 der Artikelserie Entscheidungsbaum-Algorithmus ID3 erläutert.

1. Schritt: Auswählen des Attributes mit dem höchsten Informationsgewinn

Der Informationsgewinn eines Attributes (A) im Sinne des ID3-Algorithmus ist die Differenz aus der Entropie (E(S)) (siehe Teil 1 der Artikelserie Entropie, ein Maß für die Unreinheit in Daten) des gesamten Datensatzes (S) und der Summe aus den gewichteten Entropien des Attributes für jeden einzelnen Wert (Value i), der im Attribut vorkommt:
IG(S, A) = H(S) - \sum_{i=1}^n \frac{\bigl|S_i\bigl|}{\bigl|S\bigl|} \cdot H(S_i)

1.1 Gesamt-Entropie des Datensatzes berechnen

Erstmal schauen wir uns die Entropie des gesamten Datensatzes an. Die Entropie bezieht sich dabei auf das gewünschte Klassifikationsergebnis, also ist die Zahlung via Rechnung erlaubt oder nicht? Diese Frage wird entweder mit true oder false beantwortet.

H(S) = - \frac{9}{14} \cdot \log_2(\frac{9}{14}) - \frac{5}{14} \cdot \log_2(\frac{5}{14})  = 0.94

1.2 Berechnung der Informationsgewinne aller Attribute

Berechnen wir nun also die Informationsgewinne über alle Spalten.

Attribut Subset Count(true) Count(false)
Kundenart “Neukunde” 2 3
“Stammkunde” 4 0
“Normalkunde” 3 2

Wir zerlegen den gesamten Datensatz gedanklich in drei Kategorien der Kundenart und berechnen die Entropie bezogen auf das Klassifikationsziel:

H(S_{Neukunde}) = - \frac{2}{5} \cdot \log_2(\frac{2}{5}) - \frac{3}{5} \cdot \log_2(\frac{3}{5})  = 0.97

H(S_{Stammkunde}) = - \frac{4}{4} \cdot \log_2(\frac{4}{4}) - \frac{0}{4} \cdot \log_2(\frac{0}{4})  = 0.00

H(S_{Normalkunde}) = - \frac{3}{5} \cdot \log_2(\frac{3}{5}) - \frac{2}{5} \cdot \log_2(\frac{2}{5})  = 0.97

Zur Erinnerung, der Informationsgewinn (Information Gain) wird wie folgt berechnet:

    \[ IG(S, A_{Kundenart}) =  - \sum_{i=1}^n \frac{\bigl|S_i\bigl|}{\bigl|S\bigl|} \cdot H(S_i) \]

Angewendet auf das Attribut “Kundenart”…

    \[ IG(S, A_{Kundenart}) =  H(S) - \frac{\bigl|S_{Neukunde}\bigl|}{\bigl|S\bigl|} \cdot H(S_{Neukunde}) - \frac{\bigl|S_{Stammkunde}\bigl|}{\bigl|S\bigl|} \cdot H(S_{Stammkunde}) - \frac{\bigl|S_{Normalkunde}\bigl|}{\bigl|S\bigl|} \cdot H(S_{Normalkunde}) \]

… erhalten wir der Formal nach folgenden Informationsgewinn:

    \[ IG(S, A_{Kundenart}) =  0.94 - \frac{5}{14} \cdot 0.97 - \frac{4}{14} \cdot 0.00 - \frac{5}{14} \cdot 0.97 = 0.247 \]

Nun für die weiteren Spalten:

Attribut Subset Count(true) Count(false)
Zahlungsgeschwindigkeit “niedrig” 2 2
“mittel” 4 2
“schnell” 3 1

Entropien für die “Zahlungsgeschwindigkeit”:

H(S_{niedrig}) = - \frac{2}{4} \cdot \log_2(\frac{2}{4}) - \frac{2}{4} \cdot \log_2(\frac{2}{4})  = 1.00

H(S_{mittel}) = - \frac{4}{6} \cdot \log_2(\frac{4}{6}) - \frac{2}{6} \cdot \log_2(\frac{2}{6})  = 0.92

H(S_{schnell}) = - \frac{3}{4} \cdot \log_2(\frac{3}{4}) - \frac{1}{4} \cdot \log_2(\frac{1}{4})  = 0.81

So berechnen wir wieder den Informationsgewinn:

    \[ IG(S, A_{Zahlungsgeschwindigkeit}) =  H(S) - \frac{\bigl|S_{niedrig}\bigl|}{\bigl|S\bigl|} \cdot H(S_{niedrig}) - \frac{\bigl|S_{mittel}\bigl|}{\bigl|S\bigl|} \cdot H(S_{mittel}) - \frac{\bigl|S_{schnell}\bigl|}{\bigl|S\bigl|} \cdot H(S_{schnell}) \]

Einsatzen und ausrechnen:

    \[ IG(S, A_{Zahlungsgeschwindigkeit}) =  0.94 - \frac{4}{14} \cdot 1.00 - \frac{6}{14} \cdot 0.92 - \frac{4}{14} \cdot 0.81 = 0.029 \]

Und nun für die Spalte “Kauffrequenz”:

Attribut Subset Count(true) Count(false)
Kauffrequenz “niedrig” 3 4
“hoch” 6 1

Entropien:

H(S_{niedrig}) = - \frac{3}{7} \cdot \log_2(\frac{3}{7}) - \frac{4}{7} \cdot \log_2(\frac{4}{7})  = 0.99

H(S_{hoch}) = - \frac{6}{7} \cdot \log_2(\frac{6}{7}) - \frac{1}{7} \cdot \log_2(\frac{1}{7})  = 0.59

Informationsgewinn:

    \[ IG(S, A_{Kauffrequenz}) =  H(S) - \frac{\bigl|S_{niedrig}\bigl|}{\bigl|S\bigl|} \cdot H(S_{niedrig}) - \frac{\bigl|S_{hoch}\bigl|}{\bigl|S\bigl|} \cdot H(S_{hoch}) \]

Einsetzen und Ausrechnen:

    \[ IG(S, A_{Kauffrequenz}) =  0.94 - \frac{7}{14} \cdot 1.00 - \frac{7}{14} \cdot 0.59 = 0.150 \]

Und last but not least die Spalte “Herkunft”:

Attribut Subset Count(true) Count(false)
Herkunft “Inland” 6 2
“Ausland” 3 3

Entropien:

H(S_{Inland}) = - \frac{6}{8} \cdot \log_2(\frac{6}{8}) - \frac{2}{8} \cdot \log_2(\frac{2}{8})  = 0.81

H(S_{Ausland}) = - \frac{3}{6} \cdot \log_2(\frac{3}{6}) - \frac{3}{6} \cdot \log_2(\frac{3}{6})  = 1.00

Informationsgewinn:

    \[ IG(S, A_{Herkunft}) =  H(S) - \frac{\bigl|S_{Inland}\bigl|}{\bigl|S\bigl|} \cdot H(S_{Inland}) - \frac{\bigl|S_{Ausland}\bigl|}{\bigl|S\bigl|} \cdot H(S_{Ausland}) \]

Einsetzen und Ausrechnen:

    \[ IG(S, A_{Herkunft}) =  0.94 - \frac{8}{14} \cdot 0.81 - \frac{6}{14} \cdot 1.00 = 0.05 \]

2. Schritt: Anlegen des Wurzel-Knotens

Der Informationsgewinn ist für das Attribut “Kundenart” am größten, daher entscheiden wir uns im Sinne des ID3-Algorithmus für dieses Attribut als Wurzel-Knoten.

3. Schritt: Rekursive Wiederholung (!!!)

Nun stellt sich natürlich die Frage: Wie geht es weiter?

Der Algorithmus kann eigentlich nur eines: Einen Wurzelknoten finden. Diesen Vorgang müssen wir nun nur noch rekursiv wiederholen, und das tun wir wie folgt.

Der Datensatz wurde bereits aufgeteilt in die drei Kundenarten. Für jede Kundenart ergibt sich jeweils ein Subset mit den verbleibenden Attributen. Für alle drei Subsets erstellen wir dann wieder einen Wurzelknoten, so dass ein neuer Ast entsteht.

3.1 Erster Rekursionsschritt

Machen wir also weiter und bestimmen wir das nächste Attribut nach der Kundenart, für die Fälle Kundenart = “Neukunde”:

Zeile Kundenart Zahlungsgeschwindigkeit Kauffrequenz Herkunft Zahlungsmittel: Rechnung?
 1  Neukunde  niedrig  niedrig  Inland  false
 2  Neukunde  niedrig  niedrig  Ausland  false
 8  Neukunde  mittel  niedrig  Inland  false
 9  Neukunde  hoch  hoch  Inland  true
 11  Neukunde  mittel  hoch  Ausland  true

Die Entropie des Gesamtdatensatzes (ja, es ist für diesen Schritt betrachtet der gesamte Datensatz!) ist wie folgt:

H(S_{Neukunde}) = - \frac{2}{5} \cdot \log_2(\frac{2}{5}) - \frac{3}{5} \cdot \log_2(\frac{3}{5})  = 0.97

Die Entropie ist weit weg von einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (nahe der Gleichverteilung). Daher müssen wir hier nochmal ansetzen und losrechnen:

Entropien für “Zahlungsgeschwindigkeit” bei Neukunden:

H(S_{niedrig}) = 0.00

H(S_{mittel}) = 1.00

H(S_{hoch}) = 0.00

Informationsgewinn des Attributes “Zahlungsgeschwindigkeit” bei Neukunden:

    \[ IG(S_{Neukunde},A_{Zahlungsgeschwindigkeit}) = 0.97 - \frac{3}{5} \cdot 0.00 - \frac{2}{5} \cdot 1.00 -  \frac{1}{5} \cdot 0.00 = 0.57 \]

Betrachtung der Spalte “Kauffrequenz” bei Neukunden:

Entropien für “Kauffrequenz” bei Neukunden:

H(S_{niedrig}) = 0.00

H(S_{hoch}) = 0.00

Informationsgewinn des Attributes “Kauffrequenz” bei Neukunden:

    \[ IG(S_{Neukunde},A_{Kauffrequenz}) = 0.97 - \frac{3}{5} \cdot 0.00 - \frac{2}{5} \cdot 0.00 = 0.97 \]

Betrachtung der Spalte “Herkunft” bei Neukunden:

Entropien für “Herkunft” bei Neukunden:

H(S_{Inland}) = 0.92

H(S_{hoch}) = 1.00

Informationsgewinn des Attributes “Herkunft” bei Neukunden:

    \[ IG(S_{Neukunde},A_{Herkunft}) = 0.97 - \frac{3}{5} \cdot 0.92 - \frac{2}{5} \cdot 1.00 = 0.018 \]

Wir entscheiden uns also für das Attribut “Kauffrequenz” als Ast nach der Entscheidung “Neukunde”, denn dieses Attribut bring uns den größten Informationsgewinn und trennt uns die Unterscheidung für oder gegen das Zahlungsmittel “Rechnung” eindeutig auf.

3.1 Zweiter Rekursionsschritt

Was passiert mit der Kundenart “Stammkunde”?

Zeile Kundenart Zahlungsgeschwindigkeit Kauffrequenz Herkunft Zahlungsmittel: Rechnung?
 3  Stammkunde  niedrig  niedrig  Inland  true
 7  Stammkunde  hoch  hoch  Ausland  true
 12  Stammkunde  mittel  niedrig  Ausland  true
 13  Stammkunde  niedrig  hoch  Inland  true

Die Antwort ist einfach: Nichts!
Wer ein Stammkunde ist, dem wurde stets die Zahlung per Rechnung erlaubt.

H(S_{Stammkunde}) = 0.0

3.1 Dritter Rekursionsschritt

Fehlt nun nur noch die Frage nach der Unterscheidung von Normalkunden.

Zeile Kundenart Zahlungsgeschwindigkeit Kauffrequenz Herkunft Zahlungsmittel: Rechnung?
 4  Normalkunde  mittel  niedrig  Inland  true
 5  Normalkunde  hoch  hoch  Inland  true
 6  Normalkunde  hoch  hoch  Ausland  false
 14  Normalkunde  mittel  niedrig  Ausland  false

Zwar ist die Entropie des Subsets der Normalkunden…

H(S_{Normalkunde}) = 1.0

… denkbar schlecht, da maximal. Aber wir können genauso vorgehen, wie wir es bei dem Subset der Neukunden getan haben. Ich nehme es nun aber vorweg: Wenn wir uns den Datensatz näher ansehen, erkennen wir, dass wir diese Gesamtentropie von 1.0 für das Subset “Normalkunde” nicht mit den Attributen “Kauffrequenz” oder “Herkunft” reduzieren können, da dieses auch für sich betrachtet in Entropien der Größe 1.0 erhalten werden. Das Attribut “Herkunft” hingegen teilt den Datensatz sauber in true und false auf:

Somit ist der Informationsgewinn für das Attribut “Herkunft” am größten und wir haben unseren Baum komplett und – glücklicherweise – eindeutig bestimmen können!

Ergebnis: Der Entscheidungsbaum

Somit haben wir den Entscheidungsbaum über den ID3-Algorithmus erstellt, der eine Auskunft darüber macht, ob einem Kunden die Zahlung über Rechnung (statt Vorkasse) erlaubt wird:

true = Rechnung als Zahlungsmittel erlaubt
false = Rechnung als Zahlungsmittel nicht erlaubt

Ensemble Learning

Stellen Sie sich vor, Sie haben die Frage Ihres Lebens vor sich. Die korrekte Beantwortung dieser Frage wird Ihr Leben positiv beeinflussen, andernfalls negativ. Aber Sie haben Glück: Sie dürfen einen Experten, den Sie auswählen dürfen, um Rat fragen oder Sie dürfen eine annonyme Gruppe, sagen wir 1.000 Personen, um Rat fragen. Welchen Rat würden Sie sich einholen? Die einzelne Experten-Meinung oder die aggriegierte Antwort einer ganzen Gruppe von Menschen?
Oder wie wäre es mit einer Gruppe von Experten?

Ensemble Learning

Beim Einsatz eines maschinellen Lernalgorithmus auf ein bestimmtes Problem kann durchaus eine angemessene Präzision (Accuracy, eine Quote an Prädiktionsergebnissen, die als korrekt einzustufen sind) erzielt werden, doch oftmals reicht die Verlässlichkeit eines einzelnen Algorithmus nicht aus. Algorithmen können mit unterschiedlichen Parametern verwendet werden, die sich bei bestimmten Daten-Situationen verschieden auswirken. Bestimmte Algorithmen neigen zur Unteranpassung (Underfitting), andere zur Überanpassung (Overfitting).

Soll Machine Learning für den produktiven Einsatz mit bestmöglicher Zuverlässigkeit entwickelt und eingesetzt werden, kommt sinnvollerweise Ensemble Learning zum Einsatz. Beim Ensemble Learning wird ein Ensemble (Kollektiv von Prädiktoren) gebildet um ein Ensemble Average (Kollektivmittelwert) zu bilden. Sollte also beispielsweise einige Klassifizierer bei bestimmten Daten-Eingaben in ihren Ergebnissen ausreißen, steuern andere Klassifizierer dagegen. Ensemble Learning kommt somit in der Hoffnung zum Einsatz, dass eine Gruppe von Algorithmen ein besseres Ergebnis im Mittel erzeugen als es ein einzelner Algorithmus könnte.

Ich spreche nachfolgend bevorzugt von Klassifizierern, jedoch kommt Ensemble Learning auch bei der Regression zum Einsatz.

Voting Classifiers (bzw. Voting Regressors)

Eine häufige Form – und i.d.R. auch als erstes Beispiel eines Ensemble Learners – ist das Prinzip der Voting Classifiers. Das Prinzip der Voting Classifiers ist eine äußerst leicht nachvollziehbare Idee des Ensemble Learnings und daher vermutlich auch eine der bekanntesten Form der Kollektivmittelwert-Bildung. Gleich vorweg: Ja, es gibt auch Voting Regressors, jedoch ist dies ein Konzept, das nicht ganz ohne umfassendere Aggregation auf oberster Ebene auskommen wird, daher wäre für die Zwecke der akkurateren Regression eher das Stacking (siehe unten) sinnvoll.

Eine häufige Frage im Data Science ist, welcher Klassifizierer für bestimmte Zwecke die besseren sind: Entscheidungsbäume, Support-Vector-Machines, k-nächste-Nachbarn oder logistische Regressionen?

Warum nicht einfach alle nutzen? In der Tat wird genau das nicht selten praktiziert. Das Ziel dieser Form des Ensemble Learnings ist leicht zu erkennen: Die unterschiedlichen Schwächen aller Algorithmen sollen sich – so die Hoffnung – gegenseitig aufheben. Alle Algorithmen (dabei können auch mehrere gleiche Algorithmen mit jedoch jeweils unterschiedlichen Paramtern gemeint sein, z. B. mehrere knN-Klassifizierer mit unterschiedlichen k-Werten und Dimensionsgewichtungen) werden auf dasselbe Problem hin trainiert.

Stacking

Bei der Prädiktion werden entweder alle Klassifizierer gleich behandelt oder unterschiedlich gewichtet (wobei größere Unterschiede der Gewichtungen unüblich, und vermutlich auch nicht sinnvoll, sind). Entsprechend einer Ensemble-Regel werden die Ergebnisse aller Klassifizierer aggregiert, bei Klassifikation durch eine Mehrheitsentscheidung, bei Regression meistens durch Durchschnittsbildung oder (beim Stacking) durch einen weiteren Regressor.

Abgesehen davon, dass wir mit dem Ensemble-Klassifizierer bzw. Regressoren vermutlich bessere Ergebnisse haben werden, haben wir nun auch eine weitere Information hinzubekommen: Eine Entropie über die Wahrscheinlichkeit. Bestenfalls haben alle Klassifizierer die gleiche Vorhersage berechnet, schlechtestensfalls haben wir ein Unentschieden. So können wir Vorhersagen in ihrer Aussagekraft bewerten. Analog kann bei Regressionen die Varianz der Ergebnisse herangezogen werden, um das Ergebnis in seiner Aussagekraft zu bewerten.

Betrachtung im Kontext von: Eine Kette ist nur so stark, wie ihr schwächstes Glied

Oft heißt es, dass Ensemble Learning zwar bessere Ergebnisse hervorbringt, als der schwächste Klassifizier in der Gruppe, aber auch schlechtere als der beste Klassifizierer. Ist Ensemble Learning also nur ein Akt der Ratlosigkeit, welcher Klassifizierer eigentlich der bessere wäre?

Ja und nein. Ensemble Learning wird tatsächlich in der Praxis dazu verwendet, einzelne Schwächen abzufangen und auch Ausreißer-Verhalten auf bisher andersartiger Daten abzuschwächen. Es ist ferner jedoch so, dass Ensemble Learner mit vielen Klassifizieren sogar bessere Vorhersagen liefern kann, als der beste Klassifizierer im Programm.

Das liegt an dem Gesetz der großen Zahlen, dass anhand eines Beispiels verdeutlicht werden kann: Bei einem (ausbalanzierten) Münzwurf liegt die Wahrscheinlichkeit bei genau 50,00% dafür, Kopf oder Zahl zu erhalten. Werfe ich die Münze beispielsweise zehn Mal, erhalte ich aber vielleicht drei Mal Kopf und sieben mal Zahl. Werfe ich sie 100 Mal, erhalte ich vielleicht 61 Mal Kopf und 39 Mal Zahl. Selbst nur 20 Mal die Zahl zu erhalten, wäre bei nur 100 Würfen gar nicht weit weg von unwahrscheinlich. Würde ich die Münze jedoch 10.000 Male werfen, würde ich den 50% schon sehr annähern, bei 10 Millionen Würfen wird sich die Verteilung ganz sicher als Gleichverteilung mit 50,0x% für Kopf oder Zahl einpendeln.

Nun stellt man sich (etwas überspitzt, da analog zu den Wünzwürfen) nun einen Ensemble Learner mit einer Gruppe von 10.000 Klassifiziern vor. Und angenommen, jeder einzelne Klassifizierer ist enorm schwach, denn eine richtige Vorhersage trifft nur mit einer Präzision von 51% zu (also kaum mehr als Glücksspiel), dann würde jedoch die Mehrheit der 10.000 Klassifizierer (nämlich 51%) richtig liegen und die Mehrheitsentscheidung in den absolut überwiegenden Fällen die korrekte Vorhersage treffen.

Was hingehen in diesem Kontext zutrifft: Prädiktionen via Ensemble Learning sind zwangsläufig langsam. Durch Parallelisierung der Klassifikation kann natürlich viel Zeit eingespart werden, dann ist das Ensemble Learning jedoch mindestens immer noch so langsam, wie der langsamste Klassifizierer.

Bagging

Ein Argument gegen den Einsatz von gänzlich verschiedenen Algortihmen ist, dass ein solcher Ensemble Learner nur schwer zu verstehen und einzuschätzen ist (übrigens ein generelles Problem im maschinellen Lernen). Bereits ein einzelner Algorithmus (z. B. Support Vector Machine) kann nach jedem Training alleine auf Basis der jeweils ausgewählten Daten (zum Training und zum Testen) recht unterschiedlich in seiner Vorhersage ausfallen.

Bagging (kurze Form von Bootstrap Aggregation) ist ein Ensemble Learning Prinzip, bei dem grundsätzlich der gleiche Algorithmus parallel mit unterschiedlichen Aufteilungen der Daten trainiert (und natürlich getestet) wird. Die Aufteilung der Daten kann dabei komplett (der vollständige Datensatz wird verteilt und verwendet) oder auch nur über Stichproben erfolgen (dann gibt es mehrfach verwendete Datenpunkte, aber auch solche, die überhaupt nicht verwendet werden). Das Ziel ist dabei insbesondere, im Endergebnis Unter- und Überanpassung zu vermeiden. Gibt es viele Dichte-Cluster und Ausreißer in den Daten, wird nicht jeder Klassifizierer sich diesen angepasst haben können. Jede Instanz der Klassifizierer erhält weitgehend unterschiedliche Daten mit eigenen Ausreißern und Dichte-Clustern, dabei darf es durchaus Überschneidungen bei der Datenaufteilung geben.

Pasting

Pasting ist fast genau wie Bagging, nur mit dem kleinen aber feinen Unterschied, dass sich die Datenaufteilung nicht überschneiden darf. Wird ein Datenpunkt durch Zufallsauswahl einem Klassifizierer zugewiesen, wird er nicht mehr für einen anderen Klassifizierer verwendet. Über die Trainingsdaten des einen Klassifizierers verfügt demnach kein anderer Klassifizierer. Die Klassifizierer sind somit völlig unabhängig voneinander trainiert, was manchmal explizit gewollt sein kann. Pasting setzt natürlich voraus, dass genug Daten vorhanden sind. Diese Voraussetzung ist gleichermaßen auch eine Antwort auf viele Probleme: Wie können große Datenmengen schnell verarbeitet werden? Durch die Aufteilung ohne Überschneidung auf parallele Knoten.

Random Forest

Random Forests sollten an dieser Stelle im Text eigentlich nicht stehen, denn sie sind ein Beispiel des parallelen Ensembles bzw. des Voting Classifiers mit Entscheidungsbäumen (Decision Trees). Random Forests möchte ich an dieser Stelle dennoch ansprechen, denn sie sind eine äußerst gängige Anwendung des Baggings oder (seltener) auch des Pastings für Entscheidungsbaumverfahren. Die Datenmenge wird durch Zufall aufgeteilt und aus jeder Aufteilung heraus wird ein Entscheidungsbaum erstellt. Eine Mehrheitsentscheidung der Klassifikationen aller Bäume ist das Ensemble Learning des Random Forests.

Random Forest ist ein Verfahren der Klassifikation oder Regression, das bereits so üblich ist, dass es mittlerweile längst in (fast) allen Machine Learning Bibliotheken implemeniert ist und – dank dieser Implementierung – in der Anwendung nicht komplizierter, als ein einzelner Entscheidungsbaum.

Stacking

Stacking ist eine Erweiterung des Voting Classifiers oder Voting Regressors um eine höhere Ebene (Blending-Level), die die beste Aggregation der Einzel-Ergebnisse erlernt. An der Spitze steht beim Stacking (mindestens) ein weiterer Klassifikator oder Regressor

Stacking ist insbesondere dann sinnvoll, wenn die Ergebnisse der einzelnen Algorithmen sehr unterschiedlich ausfallen können, was bei der Regression – da stetige Werte statt wenige Klassen – nahezu immer der Fall ist. Stacking-Algorithmen können sogar mehrere Schichten umfassen, was ihr Training wesentlich schwieriger gestaltet.

Boosting (Sequential Ensemble Learning)

Bagging, Pasting und Stacking sind parallele Verfahren des Ensemble Learning (was nicht bedeutet, dass die parallel dargestellten Algorithmen in der Praxis nicht doch sequenziell abgearbeitet werden). Zwangsweise sequenziell durchgeführt wird hingegen das Boosting, bei dem wir schwache Klassifizierer bzw. Regressoren durch Iteration in ihrem Training verstärken wollen. Boosting kann somit als eine Alternative zum Deep Learning gesehen werden. Während beim Deep Learning ein starker Algorithmus durch ein mehrschichtiges künstliches neuronales Netz dafür entworfen und trainiert wird, um ein komplexes Problem zu lösen (beispielsweise Testerkennung [OCR]), können derartige Herausforderungen auch mit schwächeren Klassifikatoren unter Einsatz von Boosting realisiert werden.

Boosting bezieht sich allein auf das Training und ist aus einer Not heraus entstanden: Wie bekommen wir bessere Prädiktionen mit einem eigentlich schwachen Lernalgorithmus, der tendenziell Unteranpassung erzeugt? Boosting ist eine Antwort auf Herausforderungen der Klassifikation oder Regression, bei der ein Algorithmus iterativ, also in mehreren Durchläufen, durch Anpassung von Gewichten trainiert wird.

Eines der bekanntesten Boosting-Verfahren ist AdaBoost. Der erste Schritt ist ein normales Training. Beim darauffolgenden Testen zeigen sich Klassifikations-/Regressionsfehler. Die fehlerhaft vorhergesagten Datenpunkte werden dann für einen nächsten Durchlauf höher gewichtet. Diese Iteration läuft einige Male, bis die Fehlerquote sich nicht mehr verbessert.

Bei AdaBoost werden falsch vorhergesagte Datensätze im jeweils nächsten Durchlauf höher gewichtet. Bei einem alternativen Boosing-Verfahren, dem Gradient Boosting (auf Basis der Gradientenmethode), werden Gewichtungen explizit in Gegenrichtung des Prädiktionsfehlers angepasst.

Was beispielsweise beim Voting Classifier der Random Forest ist, bei dem mehrere Entscheidungsbäume parallel arbeiten, sind das Äquvivalent beim Boosting die Gradient Boosted Trees, bei denen jeder Baum nur einen Teil der Daten akkurat beschreiben kann, die sequentielle Verschachtelung der Bäume jedoch auch herausfordernde Klassifikationen meistert.

Um bei dem Beispiel der Entscheidungsbäume zu bleiben: Sowohl Random Forests als auch Gradient Boosted Trees arbeiten grundsätzlich mit flachen Bäumen (schwache Klassifikatoren). Gradient Boosted Trees können durch die iterative Verstärkung generell eine höhere Präzision der Prädiktion erreichen als Random Forests, wenn die Feature- und Parameter-Auswahl bereits zu Anfang sinnvoll ist. Random Forests sind hingegen wiederum robuster bei der Feature- und Parameter-Auswahl, verstärken sich jedoch nicht gegenseitig, sondern sind in ihrem Endergebnis so gut, wie die Mehrheit der Bäume.

Buchempfehlungen

Mehr zum Thema Machine Learning und Ensemble Learning gewünscht? Folgende zwei Buchempfehlungen bieten nicht nur Erklärungen, sondern demonstrieren Ensemble Learning auch mit Beispiel-Code mit Python Scikit-Learn.

Hands-On Machine Learning with Scikit-Learn and TensorFlow: Concepts, Tools, and Techniques for Building Intelligent Systems Machine Learning mit Python: Das Praxis-Handbuch für Data Science, Predictive Analytics und Deep Learning (mitp Professional)