Tag Archive for: Machine Learning

Dr. Stefan Kühn

Wie lernen Maschinen?

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Im dritten Teil meiner Reihe Wie lernen Maschinen? wollen wir die bisher kennengelernten Methoden anhand eines der bekanntesten Verfahren des Maschinellen Lernens – der Linearen Regression – einmal gegenüberstellen. Die Lineare Regression dient uns hier als Prototyp eines Verfahrens aus dem Gebiet der Regression, in weiteren Artikeln werden die Logistische Regression als Prototyp eines Verfahrens aus dem Gebiet der Klassifikation und eine Collaborative-Filtering- bzw. Matrix-Faktorisierungs-Methode als Prototyp eines Recommender-Systems behandelt.

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Nico Hezel

KNN: Vorwärtspass

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Wenn die Gewichte eines künstlichen neuronalen Netzwerkes trainiert sind, kann es verwendet werden, um Vorhersagen über eine am Eingang angelegte Beobachtung zu treffen. Hierzu werden Schicht für Schicht, in einem sogenannten Vorwärtspass (Forward-Pass), die Aktivierungen der einzelnen Neuronen ermittelt, bis ein Ergebnis an der Ausgabeschicht anliegt. Der ganze Prozess hat zwar einen eigenen Namen (Vorwärtspass), ist aber im Endeffekt nur ein iteratives durchführen von mehreren logistischen Regressionen und entspricht dem Vorgehen aus dem Artikel „KNN: künstliche Neuronen“.

Anwendungsbeispiel

Im folgenden Beispiel verwenden wir die Wahrheitstabelle von einem X-OR Logikgatter (siehe Abbildungen unten links) als Ground Truth Data. Ziel ist es, den Ausgangwert Y, für einen beliebig anliegenden Eingangsvektor [X1, X2] vorherzusagen. Die Aufgabe ist recht komplex, so dass eine einfache lineare oder logistische Regression keine zufriedenstellende Lösung finden wird. Die zum Einsatz kommende  Netzwerkstruktur ist ein 2-schichtiges Feedforward Netzwerk mit zwei Eingangsneuronen, einer verborgenen Schicht und einem Ausgangsneuron.

XOR Wahrheitstabelle

X1 X2 Y = X1 ⊻ X2
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

 

Da das Netzwerk wie anfänglich erwähnt, bereits trainiert ist, gebe ich die Gewichte (Theta) vor. Werden die Werte als Matrix dargestellt, können mit Hilfe der linearen Algebra die Aktivierungswahrscheinlichkeiten aller Neuronen einer Schicht auf einmal ausgerechnet werden.

Theta 1

θ11 =  2,7 θ12 =   3,1
θ13 =  5,6 θ14 = -6
θ15 = -5,4 θ16 =  6,2
Theta 2

θ21 =  9,6
θ22 = -6,6
θ23 = -6,5

Programmcode

Für die eigentlichen Berechnungen verwenden wir die Programmiersprache Octave oder MATLAB. Octave ist eine kostenlose alternative zu MATLAB. Wobei es nicht notwendig ist irgendetwas zu installieren, da es auch eine Online Variante von MATLAB/Octave gibt:
http://www.tutorialspoint.com/execute_matlab_online.php

 %--------------------- Daten -----------------------
 X = [0 0;       		% Eingangsdaten
      0 1;
      1 0;
      1 1] 
     
 Y = [0;1;1;0] 			% erwartete XOR Ausgangsdaten


 theta1 = [2.7, 3.1; 	% antrainierte Gewichte der ersten Schicht
           5.6,  -6;
          -5.4, 6.2]
         
 theta2 = [9.6;			% antrainierte Gewichte der zweiten Schicht
          -6.6;
          -6.5]

 m = length(X)			% Anzahl der Eingangsdaten


 %--------------------- Vorwärtspass -----------------------
 V = X					% anlegen der Eingangsdaten an die Eingangsschicht

 % 1. berechne die Aktivierungen der verborgenen Schicht
 V = [ones(m,1) V]		% hinzufügen der Bias Units  (sind immer 1)
 Zv = V * theta1			% Summe aus den Eingangswerten multipliziert mit deren Gewichten
 H = 1 ./ (1 .+ e.^-Zv)	% anwenden der Sigmoid Funktion auf die Aktivierungsstärke Zv

 % 2. berechne die Aktivierungen der Ausgangsschicht
 H = [ones(m,1) H]		% hinzufügen der Bias Units an die verborgene Schicht
 Zh = H * theta2			% Produkt aus den Aktivierungen der Neuronen in H und Theta2
 O = 1 ./ (1 .+ e.^-Zh)	% Vorhersage von dem Netzwerk

 % 3. berechne die Vorhersageungenauigkeit
 loss = (O .- Y) .^ 2 	% quadratischer Fehler von der Vorhersage und der Zielvorgabe Y
 mse = sum(loss) / m		% durchschnittlicher quadratischer Fehler aller Vorhersagen

Ein paar Sätze zu den verwendeten Befehlen. Der Punkt vor manchen Operationen gibt an, dass die Operation Elementweise durchzuführen ist (wichtig bei der Sigmoid Funktion). Die Methode ones(M,N) erzeugt eine MxN große Matrix gefüllt mit den Werten 1. Wir erzeugen damit einen Spaltenvektor der unseren Bias Units entspricht und den wir anschließend an eine vorhandene Matrix horizontal anfügen.

Wird das Programm ausgeführt schreibt es unter anderem die Werte von der Ausgabeschicht O (Output Layer) auf die Konsole. Da wir alle XOR Variationen auf einmal ausgerechnet haben, erhalten wir auch vier Vorhersagen. Verglichen mit der Zielvorgaben Y sind die Werte von O sehr vielversprechend (ähnlich).

X1 X2 Y O
0 0 0 0.057099
0 1 1 0.936134
1 0 1 0.934786
1 1 0 0.050952

 

Komplexe Netzwerke

Hätte das Netzwerk noch weitere verborgene Schichten, müssen Teile des Programmcodes wiederholt ausgeführt werden. Grundsätzlich sind drei Befehle pro Schicht notwendig:

H1 = [ones(m,1) H1]			% hinzufügen der Bias Units an die verborgene Schicht
Zh1 = H1 * theta2			% Produkt aus den Aktivierungen der Neuronen in H1 und Theta2
H2 = 1 ./ (1 .+ e.^-Zh1)		% Aktivierungswahrscheinlichkeiten für die nächste verborgene Schicht

Im nächsten Artikel schauen wir uns das Training solcher Netzwerke an.

Dr. Stefan Kühn

Wie lernen Maschinen?

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Im zweiten Teil wollen wir das mit Abstand am häufigsten verwendete Optimierungsverfahren – das Gradientenverfahren oder Verfahren des steilsten Abstiegs – anhand einiger Beispiele näher kennen lernen. Insbesondere werden wir sehen, dass die Suchrichtung, die bei der Benennung der Verfahren meist ausschlaggebend ist, gar nicht unbedingt die wichtigste Zutat ist.

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Dr. Stefan Kühn

Wie lernen Maschinen?

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Machine Learning ist eines der am häufigsten verwendeten Buzzwords im Data-Science- und Big-Data-Bereich. Aber lernen Maschinen eigentlich und wenn ja, wie? In den meisten Fällen lautet die Antwort: Maschinen lernen nicht, sie optimieren. Fällt der Begriff Machine Learning oder Maschinelles Lernen, so denken viele sicherlich zuerst an bekannte “Lern”-Algorithmen wie Lineare Regression, Logistische Regression, Neuronale Netze oder Support Vector Machines. Die meisten dieser Algorithmen – wir beschränken uns hier vorerst auf den Bereich des Supervised Learning – sind aber nur Anwendungen einer anderen, grundlegenderen Theorie – der mathematischen Optimierung. Alle hier angesprochenen Algorithmen stellen dem Anwender eine bestimmte Ziel- oder Kostenfunktion zur Verfügung, aus der sich i.a. der Name der Methode ableitet und für die im Rahmen des Lernens ein Minimum oder Optimum gefunden werden soll. Ein großer Teil des Geheimnisses und die eigentliche Stärke der Machine-Learning-Algorithmen liegt nun darin, dass dieser Minimierungsprozess effizient durchgeführt werden kann. Wir wollen im Folgenden kurz erklären, wie dies in etwa funktioniert. In einem späteren Blogpost gehen wir dann genauer auf das Thema der Effizienz eingehen. Read more

Radek Mackowiak

KNN: Natur als Vorbild – Biologische Neuronen

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Bisher ist die genaue Funktionsweise des Gehirns bei der Verarbeitung sensorischer Informationen nicht bekannt. Neue Erkenntnisse im Bereich der Neurowissenschaften liefern jedoch einen Einblick über grundlegende Prinzipien wie das Gehirn von Säugetieren sensorische Informationen repräsentiert. Einer der wichtigsten Punkte ist dabei die Erkenntnis, dass der Neocortex, einem ankommenden Signal erlaubt ein komplexes Netzwerk von Neuronen zu durchlaufen, wodurch es zu einer abstrakten Repräsentation des ursprünglichen Eingabesignals kommt. Auch ist das Gehirn in der Lage die Leitfähigkeit der Verbindungen zwischen den Neuronen zu modifizieren, was sich auf eine Änderung der Abbildungsvorschrift auswirkt. Beobachtungen können dadurch noch besser getrennt und effizienter repräsentiert werden. Die Entdeckung dieses Verhaltens motivierte die Entstehung des Forschungszweiges Deep Machine Learning, welcher sich darauf fokussiert Modelle zu entwickeln, die ähnliche Charakteristiken wie der Neocortex aufweisen.

Das Eingabesignal durchläuft das Netzwerk bis zu einer Ausgabeschicht. Das Resultat dieser nicht linearen Transformation lässt sich dann beispielsweise mit einem Klassifizierungsalgorithmus auswerten. Die praktischen Anwendungen solcher Algorithmen sind sehr vielfältig. Deep Machine Learning Algorithmen liefern zurzeit die besten Ergebnisse zu vielen Problemen in Anwendungsdomänen wie Bilderkennung, Spracherkennung und der Verarbeitung natürlicher Sprache. Mit Hilfe dieser Algorithmen wurden beispielsweise neue elementare Teilchen gefunden, entdeckte Galaxien noch besser klassifiziert und Auswirkungen von Mutationen innerhalb von DNA vorhergesagt.

Das Neuron

Das Neuron ist die Basis-Recheneinheit des Gehirns. Ungefähr 86 Milliarden solcher Neuronen befinden sich im menschlichen Nervensystem, welche durch ca. 10^15 Synapsen miteinander vermascht sind. In Abbildung unten links wird eine Schemazeichnung eines biologischen Neurons dargestellt. Dieses besteht unter Anderem aus Dendriten, dem Zellkörper, der den Zellkern beinhaltet und einem Axon. Die Dendriten gehen aus dem Zellkörper hervor und sind über Synapsen mit sensorischen Zellen oder Axonen anderer Neuronen verbunden. Ihre Aufgabe ist die Aufnahme von ankommenden Signalen in Form von elektrischen Spannungsänderungen und der Transport dieser in den Zellkörper des Neurons, der Recheneinheit einer Nervenzelle. Dort angekommen entscheiden bestimmte Faktoren, ob ein Aktionspotential anhand einer Schwellwertfunktion ausgelöst wird oder nicht. Ist dies der Fall leitet das Neuron elektrische Energie über sein Axon an weitere angeschlossene Dendriten anderer Neuronen weiter.

Neuronen
Das biologische Neuron diente als Inspiration für das Software-Neuron. Beim mathematischen Modell eines Software-Neurons (Künstliches Neuron eines KNN) wird davon ausgegangen, dass die verschiedenen Dendriten unterschiedlich stark ausgeprägt sind und ein Signal daher auch verschieden stark gewichtet in den Zellkörper übertragen wird. Jedes Dendrit enthält demnach einen Faktor(θi), der das Signal(xi) vor dem Eintreffen in den Zellkörper skaliert (θixi). Diese Faktoren werden auch als Gewichte bezeichnet. Im Zellkörper selbst werden die Signale die von unterschiedlichen Neuronen stammen aufsummiert bis schließlich ein fester Bias-Wert(b) auf das Ergebnis der Summation aufaddiert wird. Anschließend bestimmt eine nicht-lineare Aktivierungsfunktion über den finalen Ausgangswert des Neurons.

Bildquelle: Wikipedia

Ähnliche Artikel:

Nico Hezel

KNN: Vorteile und Nacheile

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Wie jedes Verfahren haben auch künstliche Neuronale Netzwerke (KNN) ihre Vor- und Nachteile. Im Folgenden sollen einige benannt werden.

Vorteile

  • KNN können bessere Ergebnisse liefern als existierende statistische Ansätze, wenn das Problem ausreichend komplex ist. Das heißt, wenn das Problem nicht linear ist und es viele Eingabedaten mit vielen Variablen gibt.
  • Es gibt zwar sogenannte Hyperparameter, die je nach Einstellung das Netzwerk besser oder schlechter trainieren lassen, diese müssen aber nur manuell geändert werden, wenn neue Rekordwerte erreicht werden sollen. Ansonsten gibt es verhältnismäßig wenige Parameter.
  • Auch für stark nicht lineare Probleme, werden gute Lösungen gefunden. Dazu zählen fast alle Probleme die aus einer Datenbasis stammen, wo menschliche oder andere unvorhersehbare Einflüsse wirken.
  • Für große Datenmengen und viele Datendimensionen (Einflussfaktoren) können sinnvolle Ergebnisse ermittelt werden.

Nachteile

  • Künstliche Neuronale Netzwerke sind oftmals wie eine Blackbox. Dadurch ist es nicht möglich nachzuverfolgen wieso ein Netzwerk eine bestimmte Entscheidung getroffen hat.
  • Damit ein allgemeingültiges gutes Ergebnis berechnet werden kann, bedarf es vieler Beispiel-/Trainingsdaten.
  • Aufgrund der hohen Datenmenge, ist es sinnvoll die Berechnungen auf einer Grafikkarte durchzuführen.
  • Während des Trainings finden sehr viele Gewichtsänderungen in kurzer Zeit statt. Daher ist ein Aufteilen der Arbeit in ein verteiltes System wie Apache Hadoop oder Apache Spark nur schwer möglich und führt oftmals zu drastischen Performanz Einbußen.
  • Ist das Problem mathematisch beschreibbar sind KNNs oftmals schlechter oder maximal genauso gut.
  • Es ist zu keinen Zeitpunkt bekannt ob die gefundene Lösung das globale Optimum ist oder ob es noch bessere Lösungen gibt.

In der Forschung gibt es viele Ansätze um einige der Nachteile aufzuheben.

 

Nico Hezel

KNN: Was sind künstliche neuronale Netze?

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Ein künstliches neuronales Netzwerk (KNN) besteht aus vielen miteinander verbundenen künstlichen Neuronen. Die einzelnen Neuronen haben unterschiedliche Aufgaben und sind innerhalb von Schichten (layer) angeordnet. Sogenannte Netzwerk Topologien geben vor, wie viele Neuronen sich auf einer Schicht befinden und welche Neuronen miteinander vernetzt sind. Neuronale Netze werden im Bereich der künstlichen Intelligenz eingesetzt und sind ein Ansatz im Machine Learning, haben hier jedoch besondere Vor- und Nachteile.

Es gibt drei Schicht- und vier grundlegende Neuronen-Arten. Bei den Schichten wird unterschieden zwischen Eingabe-, Ausgabe- und verborgener Schicht (Visible, Output & Hidden Layer). Alle eingehenden Daten werden an den Eingabe-Neuronen (Visible Unit) in der Eingabeschicht angelegt. Diese wiederum geben die Daten weiter an die verbundenen Ausgabe- oder verborgenen Neuronen (Output, Hidden Unit). Zusätzlich kann in jeder Schicht noch ein Bias Neuron (Bias Unit) zum Einsatz kommen. Read more

Benjamin Aunkofer

Aus der Datenflut das Beste machen – Zertifikatskurs „Data Science“ in Brandenburg

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Die Aufbereitung von Daten, ihre Analyse und Darstellung sind mittlerweile zu einer Wissenschaft für sich geworden – „Data Science“. Unternehmen sehen sich heute unabhängig von ihrer Größe von einer Vielzahl unterschiedlicher Daten herausgefordert: Neben klassischen Transaktionsdaten stehen heute z.B. Daten aus der Logistik (RFID, GIS), aus sozialen Medien, dem Internet der Dinge oder öffentlichen Quellen (Open Data / Public Data) zur Verfügung. Ein neuer Zertifikatskurs Data Science ermöglicht jetzt eine wissenschaftliche Weiterbildung zur Nutzung von Daten als „Rohstoff des 21. Jahrhunderts“.

Die Agentur für wissenschaftliche Weiterbildung und Wissenstransfer (AWW e.V.) bietet in Kooperation mit der Fachhochschule Brandenburg den berufsbegleitenden Zertifikatskurs mit nur wenigen Präsenzphasen ab Oktober an. Die wissenschaftliche Leitung hat Dr. Peter Lauf übernommen, ein erfahrener Praktiker, der zurzeit noch eine Professur für Quantitative Methoden und Data Mining an der Hochschule für Technik und Wirtschaft Berlin vertritt. Zertifiziert wird der Abschluss Data Scientist (FH).

Die Weiterbildung hat nur wenige Präsenzphasen an Freitagen und Samstagen und ist daher für Teilnehmer/innen aus dem ganzen Bundesgebiet geeignet – So kommen einige Teilnehmer auch aus Frankfurt am Main und München.

Wer sich schnell entscheidet, kann bis 16. Juli 2015 vom Frühbucherrabatt profitieren!

Der Inhalt des Kurses orientiert sich an einer bekannten Einteilung des amerikanischen Wirtschaftswissenschaftlers und Google-Chefökonomen Hal Varian: Ihm zufolge setzt sich die spezifische Wertschöpfungskette von Daten aus Zugriff, Verständnis, Verarbeitung, Analyse und Ergebniskommunikation zusammen. Data Science umfasst deshalb die Module Data Engineering (Zugriff, Verständnis, Verarbeitung), Quantitative Methoden und Data Mining (Analyse) sowie Storytelling: Kommunikation und Visualisierung der Ergebnisse (Ergebniskommunikation).

Die Weiterbildung vereinigt damit Fachwissen aus der Informatik mit quantitativen Methoden und Aspekten des Informations- und Kommunikationsdesigns. Wichtige Werkzeuge im Kurs sind die Statistiksprache R und Power Business Intelligence Tools. Auch auf Azure Machine Learning wird mit konkreten Beispielen Bezug genommen. Im Ergebnis sollen die Teilnehmer verschiedene Techniken zur Nutzung von Daten beherrschen und einen Überblick über die Voraussetzungen und möglichen Lösungsansätze im Bereich datengetriebener Projekte erhalten. Lernziel ist die reibungslose Kommunikation zwischen Management, Engineering und Administration.

Weitere Auskünfte erteilt Katja Kersten (Tel. 03381 – 355 754, E-Mail: katja.kersten@fh-brandenburg.de). Nähere Informationen im Internet sind unter www.aww-brandenburg.de erhältlich.

Bassam Mokbel

Datenvisualisierung – Eine Wissenschaft für sich… oder auch zwei

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Techniken für die Visualisierung und visuelle Analyse von Datenmengen gehören heute in vielen Unternehmen zu den essentiellen Werkzeugen, um große Datensätze zu untersuchen und sie greifbarer zu gestalten. Während die Anwendungssoftware dazu ständig weiterentwickelt wird, sind die dahinterliegenden Methoden ein beliebtes Forschungsthema in der Wissenschaft. Es gibt zahlreiche Tagungen, Workshops und Fachjournale, in denen neue Erkenntnisse, Verfahren und technische Innovationen ausgetauscht werden.
Interessant ist aber, dass sich in den vergangenen Jahrzehnten zwei große unabhängige Strömungen in der Forschung zum Thema Datenvisualisierung ausgeprägt haben. – Beide hängen mit dem übergeordneten Thema zusammen, begreifen sich jedoch sehr unterschiedlich. Read more

Benjamin Aunkofer

Top 10 der Python Bibliotheken für Data Science

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Python gilt unter Data Scientists als Alternative zu R Statistics. Ich bevorzuge Python auf Grund seiner Syntax und Einfachheit gegenüber R, komme hinsichtlich der vielen Module jedoch häufig etwas durcheinander. Aus diesem Grund liste ich hier die – meiner Einschätzung nach – zehn nützlichsten Bibliotheken für Python, um einfache Datenanalysen, aber auch semantische Textanalysen, Predictive Analytics und Machine Learning in die Tat umzusetzen.

NumPy – Numerische Analyse

NumPy ist eine Open Source Erweiterung für Python. Das Modul stellt vorkompilierte Funktionen für die numerische Analyse zur Verfügung. Insbesondere ermöglicht es den einfachen Umgang mit sehr großen, multidimensionalen Arrays (Listen) und Matrizen, bietet jedoch auch viele weitere grundlegende Features (z. B. Funktionen der Zufallszahlenbildung, Fourier Transformation, linearen Algebra). Ferner stellt das NumPy sehr viele Funktionen mathematische Funktionen für das Arbeiten mit den Arrays und Matrizen bereit.

matplotlib – 2D/3D Datenvisualisierung

Die matplotlib erweitert NumPy um grafische Darstellungsmöglichkeiten in 2D und 3D. Das Modul ist in Kombination mit NumPy wohl die am häufigsten eingesetzte Visualisierungsbibliothek für Python.

Die matplotlib bietet eine objektorientierte API, um die dynamischen Grafiken in Pyhton GUI-Toolkits einbinden zu können (z. B. GTL+ oder wxPython).

NumPy und matplotlib werden auch mit den nachfolgenden Bibliotheken kombiniert.

Bokeh – Interaktive Datenvisualisierung

Während die Plot-Funktionen von matplotlib statisch angezeigt werden, kann in den Visualsierungsplots von Bokeh der Anwender interaktiv im Chart klicken und es verändern. Bokeh ist besonders dann geeignet, wenn die Datenvisualisierung als Dashboard im Webbrowser erfolgen soll.

Das Bild über diesen Artikel zeigt Visualiserungen mit dem Python Package Bokeh.

Pandas – Komplexe Datenanalyse

Pandas ist eine Bibliothek für die Datenverarbeitung und Datenanalyse mit Python. Es erweitert Python um Datenstrukturen und Funktionen zur Verarbeitung von Datentabellen. Eine besondere Stärke von Pandas ist die Zeitreihenanalyse. Pandas ist freie Software (BSD License).

Statsmodels – Statistische Datenanalyse

Statsmodels is a Python module that allows users to explore data, estimate statistical models, and perform statistical tests. An extensive list of descriptive statistics, statistical tests, plotting functions, and result statistics are available for different types of data and each estimator.

Die explorative Datenanalyse, statistische Modellierung und statistische Tests ermöglicht das Modul Statsmodels. Das Modul bringt neben vielen statistischen Funktionen auch eigene Plots (Visualisierungen) mit. Mit dem Modul wird Predictive Analytics möglich. Statsmodels wird häufig mit NumPy, matplotlib und Pandas kombiniert.

SciPy – Lineare Optimierung

SciPy ist ein sehr verbreitetes Mathematik-Modul für Python, welches den Schwerpunkt auf die mathematische Optimierung legt. Funktionen der linearen Algebra, Differenzialrechnung, Interpolation, Signal- und Bildverarbeitung sind in SciPy enthalten.

scikit-learn – Machine Learning

scikit-learn ist eine Framework für Python, das auf NumPy, matplotlob und SciPy aufsetzt, dieses jedoch um Funktionen für das maschinelle Lernen (Machine Learning) erweitert. Das Modul umfasst für das maschinelle Lernen notwendige Algorithmen für Klassifikationen, Regressionen, Clustering und Dimensionsreduktion.

Mlpy – Machine Learning

Alternativ zu scikit-learn, bietet auch Mlpy eine mächtige Bibliothek an Funktionen für Machine Learning. Mlpy setzt ebenfalls auf NumPy und SciPy, auf, erweitert den Funktionsumfang jedoch um Methoden des überwachten und unüberwachten maschinellen Lernens.

NLTK – Text Mining

NLTK steht für Natural Language Toolkit und ermöglicht den effektiven Einstieg ins Text Mining mit Python. Das Modul beinhaltet eigene (eher einfache) Visualisierungsmöglichkeiten zur Darstellung von Textmuster-Zusammenhängen, z. B. in Baumstrukturen. Für Text Mining und semantische Textanalysen mit Python gibt es wohl nichts besseres als NLTK.

Theano – Multidimensionale Berechnungen & GPU-Processing

Theano is a Python library that allows you to define, optimize, and evaluate mathematical expressions involving multi-dimensional arrays efficiently

Für multidimensionale Datenanalysen bzw. die Verarbeitung und Auswertung von multidimensionalen Arrays gibt es wohl nichts schnelleres als die Bibliothek Theano. Theano ist dabei eng mit NumPy verbunden.

Theano ermöglicht die Auslagerung der Berechnung auf die GPU (Grafikprozessor), was bis zu 140 mal schneller als auf der CPU sein soll. Getestet habe ich es zwar nicht, aber grundsätzlich ist es wahr, dass die GPU multidimensionale Arrays schneller verarbeiten kann, als die CPU. Zwar ist die CPU universeller (kann quasi alles berechnen), die GPU ist aber auf die Berechnung von 3D-Grafiken optimiert, die ebenfalls über multidimensionalen Vektoren verarbeitet werden.